Комплексная плоскость и геометрическая форма комплексного числа

Зачем это нужно

Комплексные числа $z = a + bi$, где $i^2 = -1$, сначала кажутся чисто алгебраической хитростью. Но у них есть простая и красивая геометрия: каждое комплексное число — это точка плоскости или вектор. Сложение превращается в сложение векторов, а умножение — в поворот и растяжение. Благодаря этому комплексные числа стали языком электротехники (переменный ток), обработки сигналов, квантовой механики и компьютерной графики, а многие геометрические задачи решаются ими в несколько строк.

Комплексное число как точка

Числу $z = a + bi$ сопоставим точку $(a; b)$ на координатной плоскости. Горизонтальная ось — действительная (Re), вертикальная — мнимая (Im). Действительные числа лежат на оси Re, «чисто мнимые» $bi$ — на оси Im.

Модуль и аргумент

Модуль $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ — расстояние от точки до начала координат, то есть длина вектора.

Аргумент $\varphi = \arg z$ — угол между положительным направлением оси Re и вектором $z$, отсчитываемый против часовой стрелки. Для него $\cos\varphi = \frac{a}{|z|}$, $\sin\varphi = \frac{b}{|z|}$.

Разобранный пример 1

Найдите модуль и аргумент $z = 1 + i$. $|z| = \sqrt{2}$, $\cos\varphi = \sin\varphi = \frac{\sqrt{2}}{2}$, значит, $\varphi = \frac{\pi}{4}$.

Разобранный пример 2

Найдите $|3 + 4i|$ и $|-2i|$. $\sqrt{9 + 16} = 5$; $|-2i| = 2$, а его аргумент $-\frac{\pi}{2}$ (направление вниз).

Действия в геометрическом смысле

• Сложение — сложение векторов по правилу параллелограмма: $(a + bi) + (c + di)$ соответствует вектору $(a + c; b + d)$.
• Разность $z_1 - z_2$ — вектор из точки $z_2$ в точку $z_1$, поэтому $|z_1 - z_2|$ — расстояние между точками.
• Сопряжение $\bar{z} = a - bi$ — отражение относительно действительной оси; $z\bar{z} = |z|^2$.
• Умножение на $i$ — поворот на $90^\circ$ против часовой стрелки: $i(a + bi) = -b + ai$.
• Умножение вообще: модули перемножаются, аргументы складываются.

Разобранный пример 3

Найдите расстояние между точками $1 + 2i$ и $4 + 6i$. $|(4 + 6i) - (1 + 2i)| = |3 + 4i| = 5$.

Разобранный пример 4

Вычислите $i(3 + 4i)$ и объясните результат. $3i + 4i^2 = -4 + 3i$. Точка (3; 4) повернулась на $90^\circ$ в точку (−4; 3), модуль остался равным 5.

Разобранный пример 5

Вычислите $(1 + i)^2$ геометрически. У $1 + i$ модуль $\sqrt{2}$ и аргумент $\frac{\pi}{4}$. При возведении в квадрат модуль станет $2$, аргумент $\frac{\pi}{2}$. Получается $2i$. Проверка алгеброй: $1 + 2i + i^2 = 2i$.

Повороты и геометрические задачи

Чтобы повернуть точку $z$ на $90^\circ$ вокруг точки $c$, нужно сдвинуть центр поворота в начало координат, умножить на $i$ и сдвинуть обратно: $w = c + i(z - c)$.

Разобранный пример 6

Квадрат $ABCD$: $A = 0$, $B = 3 + i$, вершины идут против часовой стрелки. Найдите $C$ и $D$.

1. Вектор $\vec{AD}$ получается из $\vec{AB}$ поворотом на $90^\circ$: $D = i(3 + i) = -1 + 3i$.
2. $C = B + (D - A) = (3 + i) + (-1 + 3i) = 2 + 4i$.
3. Проверка: $|AB| = |AD| = \sqrt{10}$, стороны перпендикулярны.

Без комплексных чисел пришлось бы решать систему уравнений с координатами. Здесь же поворот записывается одним умножением.

Почему умножение — поворот с растяжением. Если $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, то по формулам сложения $z_1 z_2 = r_1 r_2(\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2))$. Подробно эту тригонометрическую форму изучают в 11 классе.

Множества точек на комплексной плоскости

Условия на $z$ задают фигуры:

Где это применяется

В электротехнике переменное напряжение изображают вращающимся вектором — комплексной амплитудой. Сопротивления резистора, катушки и конденсатора становятся комплексными числами, и цепи переменного тока считаются по тем же законам Ома, что и цепи постоянного. В компьютерной графике поворот изображения на плоскости — это умножение координат на комплексное число единичного модуля. А знаменитое множество Мандельброта — это просто множество точек комплексной плоскости, для которых последовательность $z \to z^2 + c$ не уходит в бесконечность.

Немного истории

Изображать комплексные числа точками плоскости предложили почти одновременно датский землемер Каспар Вессель (1799), швейцарец Жан Робер Арган (1806) и Карл Фридрих Гаусс. Именно геометрическая интерпретация заставила математиков признать «мнимые» числа полноправными. Электротехники пишут мнимую единицу буквой $j$, потому что $i$ у них занята силой тока.

Типичные ошибки

• Считать мнимой частью $bi$, а не $b$.
• Путать модуль $\sqrt{a^2 + b^2}$ с суммой $|a| + |b|$.
• Определять аргумент только по тангенсу, не глядя на четверть.
• Думать, что умножение на $i$ — отражение, а не поворот.
• Путать $|z - z_0| = r$ (окружность) и $|z| - |z_0| = r$.

Что дальше

• Комплексные числа в тригонометрической форме — тригонометрическая форма и формула Муавра.
• Комплексные числа — алгебра комплексных чисел.