Метод координат

Зачем это нужно

Рене Декарт в XVII веке придумал, как превратить геометрию в алгебру: каждой точке плоскости сопоставить пару чисел — координаты. Тогда расстояния, углы, окружности и прямые описываются формулами и уравнениями, а многие трудные геометрические задачи решаются вычислениями. На этом методе работают навигаторы и GPS, компьютерная графика и игры, станки с числовым управлением, чертёжные программы. В ЕГЭ координатный метод — мощный способ решать задачи по стереометрии.

Координаты вектора

Пусть $\vec{i}$ и $\vec{j}$ — единичные векторы вдоль осей $x$ и $y$. Любой вектор раскладывается по ним единственным образом: $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$. Числа $x$ и $y$ — координаты вектора: $\vec{a}\{x; y\}$.

Действия в координатах выполняются покоординатно:

$\vec{a} + \vec{b} = \{a_1 + b_1;\ a_2 + b_2\}, \quad \vec{a} - \vec{b} = \{a_1 - b_1;\ a_2 - b_2\}, \quad k\vec{a} = \{k a_1;\ k a_2\}.$

Координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ — разность координат конца и начала: если $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$, то

$\overrightarrow{AB}\{x_2 - x_1;\ y_2 - y_1\}.$

Простейшие задачи

Середина отрезка $AB$:

$M\left(\frac{x_1 + x_2}{2};\ \frac{y_1 + y_2}{2}\right).$

Длина вектора $\vec{a}\{x; y\}$ (по теореме Пифагора): $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Расстояние между точками:

$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.$

Разобранный пример 1

$A(1; 1)$, $B(7; 9)$. Найдите длину $AB$ и середину отрезка.

1. $AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$.
2. $M\left(\frac{1 + 7}{2}; \frac{1 + 9}{2}\right) = (4; 5)$.

Разобранный пример 2

$M(2; -1)$ — середина $AB$, $A(-3; 4)$. Найдите $B$.

$x_B = 2 \cdot 2 - (-3) = 7$, $y_B = 2 \cdot (-1) - 4 = -6$. Ответ: $B(7; -6)$.

Уравнение окружности

Окружность с центром $C(a; b)$ и радиусом $r$ — множество точек, удалённых от $C$ на расстояние $r$. По формуле расстояния:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.$

Разобранный пример 3

Запишите уравнение окружности с центром $(2; -3)$, проходящей через точку $(5; 1)$.

1. Радиус: $r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.
2. $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$.

Уравнение прямой

Любая прямая на плоскости задаётся уравнением

$ax + by + c = 0,$

где $a$ и $b$ не равны нулю одновременно. Если $b \ne 0$, его можно записать как $y = kx + m$ — знакомая линейная функция; $k$ — угловой коэффициент. Параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты. Прямая $x = c$ — вертикальная.

Разобранный пример 4

Напишите уравнение прямой, проходящей через точки $(1; 3)$ и $(3; 7)$.

1. $k = \frac{7 - 3}{3 - 1} = 2$.
2. $3 = 2 \cdot 1 + m$, $m = 1$. Ответ: $y = 2x + 1$.

Разобранный пример 6

Найдите точки пересечения окружности $x^2 + y^2 = 10$ и прямой $y = x + 2$.

1. Подставим: $x^2 + (x + 2)^2 = 10$, то есть $2x^2 + 4x - 6 = 0$, $x^2 + 2x - 3 = 0$.
2. $x = 1$ или $x = -3$; тогда $y = 3$ или $y = -1$.
3. Точки $(1; 3)$ и $(-3; -1)$. Проверка: $1 + 9 = 10$ и $9 + 1 = 10$.

Так геометрическая задача о пересечении линий сводится к решению системы уравнений.

Как решать задачи методом координат

Метод координат особенно хорош, когда в задаче есть прямые углы, середины отрезков, равные расстояния.

1. Удачно введите систему координат: начало — в вершине прямого угла или в центре симметрии фигуры, оси — вдоль сторон.
2. Запишите координаты всех нужных точек, обозначив неизвестные длины буквами.
3. Переведите условие на язык формул: расстояние, середина, уравнение прямой или окружности.
4. Выполните вычисления и истолкуйте результат геометрически.

Разобранный пример 5

Докажите, что в прямоугольнике диагонали равны.

1. Поместим прямоугольник так: $A(0; 0)$, $B(a; 0)$, $C(a; b)$, $D(0; b)$.
2. $AC = \sqrt{a^2 + b^2}$, $BD = \sqrt{(0 - a)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$.
3. Диагонали равны — без всяких построений и признаков равенства треугольников.

Где используются координаты

• Навигация. Каждая точка на Земле задаётся широтой и долготой — сферическими координатами. Приёмник GPS вычисляет своё положение, измеряя расстояния до нескольких спутников и решая систему уравнений, похожих на уравнения окружностей.
• Компьютерная графика. Каждый пиксель экрана имеет координаты, а любая фигура в игре или графическом редакторе хранится как набор координат вершин.
• Станки с ЧПУ и 3D-принтеры перемещают инструмент по программе, заданной координатами точек.

История вопроса

Метод координат связан с именами французских математиков Рене Декарта и Пьера Ферма, которые независимо друг от друга в 1630-х годах предложили описывать линии уравнениями. Книга Декарта «Геометрия» (1637) заложила основы аналитической геометрии; в его честь прямоугольную систему координат называют декартовой.

Типичные ошибки

• Вычитать координаты в обратном порядке: $\overrightarrow{AB}$ — «конец минус начало».
• Забывать знаки в уравнении окружности: центр $(2; -3)$ даёт $(y + 3)^2$.
• Записывать $r$ вместо $r^2$ в правой части уравнения окружности.
• Ошибаться со знаками при возведении в квадрат отрицательных разностей.
• Считать, что вертикальная прямая задаётся уравнением вида $y = kx + m$.

Что дальше

• Теоремы синусов и косинусов. Решение треугольников — синус и косинус любого угла через координаты точки.
• Геометрические места точек — геометрические места точек в координатах.
• Координатный метод в планиметрии — координатный метод в задачах.
• Метод координат в пространстве — координаты в пространстве.