Логарифмические уравнения и неравенства

Зачем это нужно

Через сколько лет вклад удвоится? Когда концентрация лекарства в крови упадёт ниже нормы? Сколько времени нужно, чтобы распалось 90 % радиоактивного вещества? Такие вопросы приводят к уравнениям, где неизвестное стоит в показателе степени, а значит, к логарифмам. Логарифмические уравнения и неравенства — одна из главных тем профильного ЕГЭ. Главное правило темы — никогда не забывать про область допустимых значений: логарифм существует только у положительных чисел.

Область допустимых значений

Выражение $\log_{a(x)} f(x)$ имеет смысл, если

$f(x) > 0, \qquad a(x) > 0, \qquad a(x) \ne 1.$

Решение любого логарифмического уравнения или неравенства начинается с ОДЗ (или заканчивается проверкой).

Методы решения уравнений

1. По определению. $\log_a f(x) = b \iff f(x) = a^b$. Здесь условие $f > 0$ выполняется автоматически, ведь $a^b > 0$.

Разобранный пример 1

Решите $\log_3 (2x - 1) = 2$. $2x - 1 = 9$, $x = 5$.

Разобранный пример 2

Решите $\log_2 (x^2 - 3x) = 2$.

$x^2 - 3x = 4$, $x^2 - 3x - 4 = 0$, $x = 4$ или $x = -1$. Оба корня подходят: при обоих $x^2 - 3x = 4 > 0$.

2. Потенцирование. $\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff f(x) = g(x)$ при $f(x) > 0$ (тогда и $g > 0$).

Разобранный пример 3

Решите $\log_5 (x + 1) = \log_5 (2x - 3)$. $x + 1 = 2x - 3$, $x = 4$; проверка: $x + 1 = 5 > 0$.

3. Свойства логарифмов + ОДЗ.

Разобранный пример 4

Решите $\log_2 x + \log_2 (x - 2) = 3$.

1. ОДЗ: $x > 0$ и $x > 2$, то есть $x > 2$.
2. $\log_2 (x(x - 2)) = 3$, $x^2 - 2x = 8$, $x = 4$ или $x = -2$.
3. С учётом ОДЗ: $x = 4$.

Без ОДЗ легко «найти» посторонний корень $-2$: при нём $\log_2 x$ не существует.

4. Замена переменной.

Разобранный пример 5

Решите $\lg^2 x - 3 \lg x + 2 = 0$.

$t = \lg x$: $t^2 - 3t + 2 = 0$, $t = 1$ или $t = 2$, откуда $x = 10$ или $x = 100$.

5. Переменное основание.

Разобранный пример 6

Решите $\log_x 16 = 2$.

ОДЗ: $x > 0$, $x \ne 1$. По определению $x^2 = 16$, $x = \pm 4$; подходит только $x = 4$.

6. Логарифмирование. Если в показательном уравнении разные основания, берут логарифм обеих частей.

Разобранный пример 7

Решите $2^x = 3^{x - 1}$.

1. Берём десятичный логарифм: $x \lg 2 = (x - 1) \lg 3$.
2. $x (\lg 3 - \lg 2) = \lg 3$, $x = \frac{\lg 3}{\lg 3 - \lg 2} = \log_{1{,}5} 3 \approx 2{,}71$.

Алгоритм

1. Найдите ОДЗ.
2. Приведите логарифмы к одному основанию и свёрните суммы и разности.
3. Перейдите к алгебраическому уравнению (по определению или потенцированием) или сделайте замену.
4. Решите его и отберите корни, удовлетворяющие ОДЗ.

Логарифмические неравенства

При переходе от логарифмов к аргументам:

• если $a > 1$, знак неравенства сохраняется;
• если $0 < a < 1$, знак меняется;
• всегда добавляется условие положительности аргументов.

Разобранный пример 8

Решите $\log_2 (x - 1) < 3$. $0 < x - 1 < 8$, откуда $1 < x < 9$.

Разобранный пример 9

Решите $\log_{\frac{1}{3}} (x + 2) \ge -2$.

Основание меньше 1, знак меняется: $0 < x + 2 \le \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9$, откуда $-2 < x \le 7$.

Метод рационализации

Когда основание тоже зависит от $x$, помогает правило: на ОДЗ выражение $\log_a b - \log_a c$ имеет тот же знак, что и $(a - 1)(b - c)$.

Разобранный пример 10

Решите $\log_x 4 > 1$.

1. ОДЗ: $x > 0$, $x \ne 1$.
2. $\log_x 4 > \log_x x \iff (x - 1)(4 - x) > 0 \iff 1 < x < 4$.
3. Ответ: $(1; 4)$. Проверка: при $x = 2$ $\log_2 4 = 2 > 1$ — верно.

Приобретение и потеря корней

Свойства логарифмов меняют область определения выражения, и это опасно в обе стороны.

• Заменяя $\log_2 x + \log_2 (x - 2)$ на $\log_2 (x(x - 2))$, мы расширяем ОДЗ: второе выражение определено и при $x < 0$. Отсюда появляются посторонние корни.
• Заменяя $\log_2 x^2$ на $2 \log_2 x$, мы сужаем ОДЗ и можем потерять корни. Уравнение $\log_2 x^2 = 2$ имеет два корня $x = \pm 2$, а «упрощённое» $2 \log_2 x = 2$ — только $x = 2$. Правильно: $\log_2 x^2 = 2 \log_2 |x|$.

Монотонность и подбор

Уравнение $\log_2 x = 3 - x$ не решается алгебраически. Но левая часть возрастает, а правая убывает, поэтому корень не больше одного. Подбором находим $x = 2$: $\log_2 2 = 1 = 3 - 2$. Это и есть единственный корень.

Прикладные задачи

Разобранный пример 11

Через сколько лет вклад под 8 % годовых удвоится?

$1{,}08^n = 2$, $n = \frac{\lg 2}{\lg 1{,}08} \approx \frac{0{,}301}{0{,}0334} \approx 9$ лет. Финансисты пользуются «правилом 72»: срок удвоения примерно равен $72$, делённому на процентную ставку.

Разобранный пример 12

Период полураспада 8 суток. Через сколько суток останется 10 % вещества?

$\left(\frac{1}{2}\right)^{t/8} = 0{,}1$, $\frac{t}{8} = \log_2 10$, $t = 8 \log_2 10 \approx 26{,}6$ суток.

Немного истории

Логарифмические уравнения появились вместе с самими логарифмами: Непер составлял таблицы как раз для того, чтобы астрономы могли решать уравнения с огромными числами, сводя умножение к сложению. Метод рационализации, популярный на ЕГЭ, систематизировал в начале 2000-х годов российский преподаватель В. И. Голубев, поэтому его иногда называют методом Голубева.

Типичные ошибки

• Не учитывать ОДЗ и оставлять посторонние корни.
• Сохранять знак неравенства при основании меньше 1.
• «Сокращать» логарифмы при разных основаниях.
• Записывать $\log_a f + \log_a g = \log_a (f + g)$.
• В неравенствах забывать условие $f(x) > 0$, даже когда сравнение аргументов уже выписано.

Что дальше

• Показательные и логарифмические неравенства — сложные показательные и логарифмические неравенства.
• Методы решения неравенств — общие методы решения неравенств.
• Общие методы решения уравнений и неравенств. Задачи с параметром — уравнения с параметром.