Логарифмы и логарифмическая функция

Зачем это нужно

Уравнение $2^x = 8$ решается устно: $x = 3$ . А $2^x = 5$ ? Ответ существует (примерно 2,32), но выразить его через знакомые операции нельзя. Для этого придумали логарифм — число, показывающее, в какую степень нужно возвести основание. Логарифмы превращают умножение в сложение, поэтому 300 лет на них держались все сложные вычисления в астрономии и навигации. И сегодня логарифмическая шкала измеряет громкость звука (децибелы), кислотность (pH), силу землетрясений (магнитуда) и яркость звёзд.

Определение

Логарифмом числа $b > 0$ по основанию $a$ ( $a > 0$ , $a \ne 1$ ) называется показатель степени, в которую нужно возвести $a$ , чтобы получить $b$ :

$\log_a b = c \iff a^c = b.$

Основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$ .

Сразу следуют: $\log_a 1 = 0$ , $\log_a a = 1$ , $\log_a a^n = n$ .

Логарифм отрицательного числа или нуля не существует: никакая степень положительного основания не даёт число, меньшее или равное нулю. Специальные обозначения: $\lg b = \log_{10} b$ — десятичный логарифм, $\ln b = \log_e b$ — натуральный.

Разобранный пример 1

Вычислите $\log_2 32$ , $\log_3 \frac{1}{9}$ , $\log_{\frac{1}{2}} 8$ .

$2^5 = 32$ , поэтому $\log_2 32 = 5$ ; $3^{-2} = \frac{1}{9}$ , поэтому $\log_3 \frac{1}{9} = -2$ ; $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 8$ , поэтому $\log_{1/2} 8 = -3$ .

Свойства логарифмов

При $a > 0$ , $a \ne 1$ , $x > 0$ , $y > 0$ :

Свойство	Формула
логарифм произведения	$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$
логарифм частного	$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$
логарифм степени	$\log_a x^p = p \log_a x$
переход к новому основанию	$\log_a x = \dfrac{\log_c x}{\log_c a}$

Все они следуют из свойств степеней: логарифм — это показатель, а при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении вычитаются, а при возведении в степень умножаются. Например, если $x = a^m$ и $y = a^n$ , то $xy = a^{m+n}$ , и $\log_a(xy) = m + n$ .

Разобранный пример 2

Вычислите $\lg 2 + \lg 50$ . $\lg (2 \cdot 50) = \lg 100 = 2$ .

Разобранный пример 3

Вычислите $\log_2 24 - \log_2 3$ . $\log_2 8 = 3$ .

Разобранный пример 4

Вычислите $9^{\log_3 5}$ . $9^{\log_3 5} = (3^2)^{\log_3 5} = (3^{\log_3 5})^2 = 5^2 = 25$ .

Разобранный пример 5

Вычислите $\log_3 5 \cdot \log_5 27$ . По формуле перехода $\log_5 27 = \frac{\log_3 27}{\log_3 5}$ , поэтому произведение равно $\log_3 27 = 3$ .

Разобранный пример 7

Вычислите $\log_2 (8\sqrt{2})$ .

$8\sqrt{2} = 2^3 \cdot 2^{1/2} = 2^{3{,}5}$ , поэтому $\log_2 (8\sqrt{2}) = 3{,}5$ .

Как работать с логарифмическими выражениями

Разложите числа на простые множители и запишите их как степени основания: $\log_4 32 = \log_{2^2} 2^5 = \frac{5}{2}$ .
Используйте свойство $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$ — оно часто сразу даёт ответ.
Сумму логарифмов с одинаковым основанием сворачивайте в логарифм произведения, разность — в логарифм частного.
Если основания разные, переходите к одному основанию.
Выражение вида $a^{\log_a b}$ сразу заменяйте на $b$ , а $a^{k \log_a b}$ — на $b^k$ .

Логарифм на калькуляторе

На калькуляторе обычно есть только кнопки $\lg$ и $\ln$ . Любой другой логарифм находят по формуле перехода: $\log_2 5 = \frac{\lg 5}{\lg 2} \approx \frac{0{,}699}{0{,}301} \approx 2{,}32$ . Теперь уравнение $2^x = 5$ решено: $x = \log_2 5 \approx 2{,}32$ . Точно так же любое уравнение $a^x = b$ при $b > 0$ имеет единственный корень $x = \log_a b$ .

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция $y = \log_a x$ — обратная к показательной $y = a^x$ . Её график симметричен графику $y = a^x$ относительно прямой $y = x$ .

Графики y = 2^x (красный) и y = log₂x (синий), симметричные относительно пунктирной прямой y = x; красный проходит через (0; 1), синий через (1; 0)

Свойство	$a > 1$	$0 < a < 1$
область определения	$(0; +\infty)$	$(0; +\infty)$
множество значений	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
монотонность	возрастает	убывает
нуль функции	$x = 1$	$x = 1$
знак	$\log_a x > 0$ при $x > 1$	$\log_a x > 0$ при $0 < x < 1$

Разобранный пример 6

Сравните $\log_2 3$ и $\log_3 2$ . $\log_2 3 > \log_2 2 = 1$ , а $\log_3 2 < \log_3 3 = 1$ . Значит, $\log_2 3 > \log_3 2$ .

Логарифмические шкалы

Если величины различаются в миллионы раз, удобно сравнивать их логарифмы. Громкость звука в децибелах: $L = 10 \lg \frac{I}{I_0}$ . Увеличение интенсивности в 100 раз добавляет всего $10 \lg 100 = 20$ дБ. Шёпот (20 дБ) и реактивный двигатель (140 дБ) различаются по интенсивности в $10^{12}$ раз. Магнитуда землетрясения на единицу больше означает примерно в 32 раза большую выделенную энергию.

Кислотность раствора измеряют водородным показателем $\text{pH} = -\lg [\text{H}^+]$ , где $[\text{H}^+]$ — концентрация ионов водорода в моль/л. У чистой воды $[\text{H}^+] = 10^{-7}$ , поэтому $\text{pH} = 7$ ; у лимонного сока около $10^{-2}$ , $\text{pH} \approx 2$ . Разница в 5 единиц pH означает, что ионов водорода в соке в $10^5$ раз больше.

Немного истории

Логарифмы изобрёл шотландец Джон Непер (1614), а таблицы десятичных логарифмов составил Генри Бригс. Астроном Лаплас говорил, что логарифмы, сократив вычисления, удвоили жизнь астрономов. До появления калькуляторов инженеры считали на логарифмической линейке — линейке со шкалами, на которых сложение длин означает умножение чисел.

Типичные ошибки

Писать $\log_a (x + y) = \log_a x + \log_a y$ . Правило работает для произведения.
Забывать, что логарифм определён только для положительных чисел.
Путать $\log_a x^2 = 2\log_a |x|$ (при $x \ne 0$ ) и $2\log_a x$ (только при $x > 0$ ).
Считать, что логарифм не может быть отрицательным: $\log_2 \frac{1}{4} = -2$ .
Путать основание и аргумент: $\log_2 8 = 3$ , а $\log_8 2 = \frac{1}{3}$ .

Что дальше

Логарифмические уравнения и неравенства — логарифмические уравнения и неравенства.
Производная сложной функции и элементарных функций — производные логарифмической и показательной функций.