Равнобедренный треугольник. Медианы, биссектрисы, высоты

Зачем это нужно

Равнобедренный треугольник — один из самых «симметричных» и самых частых в задачах: крыши домов, фронтоны, флажки, знаки дорожного движения. Его свойства — первые серьёзные теоремы, которые доказываются с помощью признаков равенства треугольников.

А медианы, биссектрисы и высоты — «замечательные отрезки» любого треугольника. Они встретятся в задачах ОГЭ и ЕГЭ, в формулах площади, в построениях, а в физике медианы связаны с центром масс: треугольная пластинка уравновешивается в точке пересечения медиан.

Медиана, биссектриса, высота

У каждого треугольника по три отрезка каждого вида (по одному из каждой вершины):

• Медиана — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.
• Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы угла от вершины до точки на противоположной стороне. Она делит угол пополам.
• Высота — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.

В разностороннем треугольнике это три разных отрезка. У тупоугольного треугольника высоты из вершин острых углов падают на продолжения сторон — за пределы треугольника.

Замечательный факт: три медианы пересекаются в одной точке; три биссектрисы — тоже; три высоты (или их продолжения) — тоже. Эти точки вы будете изучать в 8–9 классах.

Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны — боковые, третья — основание. Угол между боковыми сторонами — угол при вершине, два других — углы при основании.

Если все три стороны равны, треугольник равносторонний.

Свойства равнобедренного треугольника

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Доказательство теоремы 2 (и теоремы 1). Пусть в $\triangle ABC$ $AB = BC$, $BD$ — биссектриса. Рассмотрим $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$: $AB = CB$ (по условию), $\angle ABD = \angle CBD$ (биссектриса), $BD$ — общая. По первому признаку $\triangle ABD = \triangle CBD$. Отсюда:

• $AD = DC$ — значит, $BD$ — медиана;
• $\angle ADB = \angle CDB$, а они смежные, значит каждый по $90^\circ$ — $BD$ — высота;
• $\angle A = \angle C$ — углы при основании равны. ∎

Итак, в равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают — это ось симметрии треугольника.

Признак равнобедренного треугольника

Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный (теорема, обратная теореме 1).

Отсюда следует: в равностороннем треугольнике все углы равны (по $60^\circ$, как мы скоро узнаем), и наоборот.

Разобранный пример 1

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведена медиана $BM$. $\angle ABC = 70^\circ$. Найдите $\angle ABM$ и $\angle BMC$.

1. Медиана к основанию является биссектрисой: $\angle ABM = 70^\circ : 2 = 35^\circ$.
2. Медиана к основанию является высотой: $\angle BMC = 90^\circ$.

Ответ: $35^\circ$; $90^\circ$.

Разобранный пример 2

Периметр равнобедренного треугольника 40 см, основание на 5 см меньше боковой стороны. Найдите стороны.

1. Пусть боковая сторона $x$, основание $x - 5$.
2. $x + x + (x - 5) = 40$, $3x = 45$, $x = 15$.
3. Стороны: 15 см, 15 см, 10 см. Проверка: $15 + 15 + 10 = 40$.

Ответ: 15 см, 15 см, 10 см.

Разобранный пример 3

В треугольнике $ABC$ $\angle A = \angle C$, $AB = 8$ см. Найдите $BC$.

По признаку равнобедренного треугольника (равны углы $A$ и $C$) равны противолежащие им стороны: $BC = AB = 8$ см.

Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все три стороны равны. Он равнобедренный сразу «по трём направлениям»: любую его сторону можно считать основанием. Поэтому:

• все три угла равностороннего треугольника равны (позже вы узнаете, что каждый из них $60^\circ$);
• любая его медиана является и биссектрисой, и высотой;
• все три медианы (биссектрисы, высоты) пересекаются в одной точке — центре треугольника.

Верно и обратное: если все углы треугольника равны, то он равносторонний (применяем признак равнобедренного треугольника к каждой паре углов).

Как решать задачи на равнобедренный треугольник

1. Найдите основание. Основание — сторона, не равная двум другим; углы при основании — те, что к нему прилегают. Ошибка в выборе основания — самая частая причина неверного ответа.
2. Отметьте равные элементы на чертеже: одинаковые черточки на боковых сторонах, одинаковые дуги у углов при основании.
3. Если проведён один из «особых» отрезков к основанию (медиана, биссектриса или высота), сразу запишите: он же является двумя остальными. Это даёт сразу прямой угол, равные отрезки основания и равные половинки угла при вершине.
4. Ищите равные треугольники. Высота к основанию делит равнобедренный треугольник на два равных треугольника — это удобный способ доказывать равенство отрезков и углов.
5. Проверяйте ответ. Если вы нашли стороны, убедитесь, что боковые стороны действительно равны и периметр сходится.

Где встречается в жизни

Равнобедренные треугольники видны в двускатных крышах, фронтонах зданий, вешалках-плечиках, фермах мостов. Строители пользуются свойством высоты: отвес, опущенный из конька крыши, попадает точно в середину основания и перпендикулярен ему. Так же устроен старинный уровень-«ватерпас»: равнобедренный треугольник с отвесом из вершины; если отвес проходит через середину основания, поверхность горизонтальна.

Типичные ошибки

• Считать, что медиана, биссектриса и высота совпадают в любом треугольнике. Это верно только для отрезков, проведённых к основанию равнобедренного треугольника.
• Путать: медиана делит сторону пополам, биссектриса — угол.
• Проводить высоту внутри тупоугольного треугольника, когда она падает на продолжение стороны.
• Путать основание и боковую сторону при решении задач.
• Применять свойство «углы при основании равны» к неравнобедренному треугольнику.

Что дальше

• Окружность. Задачи на построение — свойства равнобедренного треугольника лежат в основе построений циркулем и линейкой: середины отрезка, перпендикуляра, биссектрисы.