Признаки равенства треугольников

Зачем это нужно

Чтобы убедиться, что два треугольника равны, не нужно сравнивать все шесть элементов — три стороны и три угла. Достаточно проверить три определённых элемента. Эти наборы называют признаками равенства треугольников.

Признаки равенства — главный инструмент доказательств в геометрии 7–9 классов. Чтобы доказать, что два отрезка или два угла равны, очень часто находят пару равных треугольников, в которых эти отрезки или углы соответствуют друг другу. Так доказываются свойства равнобедренного треугольника, параллелограмма, построения циркулем и линейкой.

Треугольник и равные треугольники

Треугольник — фигура из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин), и трёх отрезков, их соединяющих (сторон). У треугольника $ABC$ углы $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$; периметр — сумма длин сторон.

Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением. Тогда совмещаются и соответствующие стороны, и соответствующие углы. Пишут $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ — порядок вершин важен: $A$ соответствует $A_1$, $B$ — $B_1$, $C$ — $C_1$.

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

Первый признак: по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Краткое название: «по двум сторонам и углу между ними» (СУС).

Идея доказательства. Наложим треугольник $ABC$ на $A_1B_1C_1$ так, чтобы совпали равные углы $A$ и $A_1$. Тогда луч $AB$ пойдёт по лучу $A_1B_1$, а так как $AB = A_1B_1$, точки $B$ и $B_1$ совпадут. Аналогично совпадут $C$ и $C_1$. Значит, совпадут и стороны $BC$ и $B_1C_1$, треугольники совместились. ∎

Второй признак: по стороне и двум прилежащим углам

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (УСУ).

Углы должны быть прилежащими — то есть при концах именно этой стороны.

Третий признак: по трём сторонам

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (ССС).

Этот признак объясняет жёсткость треугольника: треугольник из трёх реек нельзя «перекосить», в отличие от четырёхугольника. Поэтому в строительстве (фермы мостов, опоры ЛЭП, стропила) конструкции собирают из треугольников.

Как доказывать равенство треугольников

1. Выпишите, что дано, и отметьте равные элементы на чертеже.
2. Найдите ещё равные элементы: общая сторона, вертикальные углы, равные смежные углы.
3. Подберите признак: какие три элемента равны?
4. Сделайте вывод и следствия: в равных треугольниках соответствующие элементы равны.

Разобранный пример 1

Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, которая является серединой каждого из них. Докажите, что $AC = BD$.

1. Рассмотрим $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$.
2. $AO = OB$ и $CO = OD$ — так как $O$ — середина каждого отрезка.
3. $\angle AOC = \angle BOD$ — как вертикальные.
4. Значит, $\triangle AOC = \triangle BOD$ по первому признаку (две стороны и угол между ними).
5. В равных треугольниках соответствующие стороны равны: $AC = BD$. ∎

Разобранный пример 2

В треугольниках $ABC$ и $ABD$ (точки $C$ и $D$ по разные стороны от $AB$) $AC = AD$, $BC = BD$. Докажите, что $\angle ACB = \angle ADB$.

1. $AC = AD$, $BC = BD$ — по условию; $AB$ — общая сторона.
2. $\triangle ABC = \triangle ABD$ по третьему признаку.
3. Значит, $\angle ACB = \angle ADB$ — как соответствующие углы равных треугольников. ∎

Чего признаком не является

• Три угла не определяют треугольник: треугольники с углами $60^\circ$, $60^\circ$, $60^\circ$ могут быть любого размера.
• Две стороны и угол не между ними (ССУ) в общем случае не гарантируют равенства — можно построить два разных треугольника.

Типичные ошибки

• Применять первый признак, когда равный угол лежит не между равными сторонами.
• Во втором признаке брать углы, не прилежащие к равной стороне.
• Записывать равенство треугольников с неверным порядком вершин — тогда следствия будут ошибочными.
• Забывать про «бесплатные» равенства: общую сторону и вертикальные углы.
• Считать треугольники равными по трём углам.

Что дальше

• Равнобедренный треугольник. Медианы, биссектрисы, высоты — с помощью признаков равенства докажем свойства равнобедренного треугольника.
• Сумма углов треугольника. Неравенство треугольника — соотношения между сторонами и углами треугольника.