Делители и кратные. Признаки делимости

Зачем это нужно

Можно ли разложить 126 конфет поровну в 9 пакетов? Получится ли выстроить 84 ученика в колонну по 4 человека? Можно ли без калькулятора понять, делится ли число 4 725 на 3? Ответы дают признаки делимости — простые правила, позволяющие узнать, делится ли число нацело, не выполняя деления.

Делимость — основа всей работы с дробями в 6 классе: чтобы сократить дробь или привести дроби к общему знаменателю, нужно быстро находить делители чисел. А в старших классах делимость вырастает в целую науку — теорию чисел, на которой держится, например, современная криптография.

Делители и кратные

Если натуральное число $a$ делится на натуральное число $b$ без остатка, то:

• $b$ называют делителем числа $a$;
• $a$ называют кратным числа $b$.

Например, $24 : 6 = 4$ без остатка, значит 6 — делитель 24, а 24 — кратное 6.

Делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Их конечное число, наименьший делитель любого числа — 1, наибольший — само число.

Кратные числа 6: 6, 12, 18, 24, 30, … Их бесконечно много: это $6 \cdot 1$, $6 \cdot 2$, $6 \cdot 3$, … Наименьшее кратное — само число.

Удобно искать делители парами: если $24 = 3 \cdot 8$, то сразу два делителя — 3 и 8. Перебирать достаточно до тех пор, пока пары не начнут повторяться.

Чётные и нечётные числа

Числа, которые делятся на 2, называют чётными: 0, 2, 4, 6, … Остальные — нечётными: 1, 3, 5, 7, …

• чётное ± чётное = чётное; нечётное ± нечётное = чётное; чётное ± нечётное = нечётное;
• произведение чётно, если хотя бы один множитель чётный.

Признаки делимости на 10, 5 и 2

Эти признаки смотрят только на последнюю цифру, ведь любое число — это «сколько-то десятков плюс последняя цифра», а десятки делятся и на 10, и на 5, и на 2.

Признаки делимости на 9 и на 3

Здесь смотрят на сумму цифр числа.

• Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
• Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Пример. 4 725: сумма цифр $4 + 7 + 2 + 5 = 18$. 18 делится и на 9, и на 3, значит 4 725 делится на 9 и на 3. Проверка: $4\,725 : 9 = 525$.

Откуда берётся признак

$4\,725 = 4 \cdot 1\,000 + 7 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 5$. Но $1\,000 = 999 + 1$, $100 = 99 + 1$, $10 = 9 + 1$. Значит,

$4\,725 = \underbrace{(4 \cdot 999 + 7 \cdot 99 + 2 \cdot 9)}_{\text{делится на 9}} + \underbrace{(4 + 7 + 2 + 5)}_{\text{сумма цифр}}.$

Первая скобка всегда делится на 9 (и на 3). Поэтому всё число делится на 9 тогда и только тогда, когда делится сумма его цифр.

Признаки для составных делителей

Признаки можно комбинировать:

• на 6 делится число, которое делится и на 2, и на 3 (6 = 2 · 3);
• на 15 — и на 3, и на 5;
• на 4 — если две последние цифры образуют число, делящееся на 4 ($1\,324$: $24 : 4 = 6$ — делится).

Разобранный пример 1

Делится ли 7 236 на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10?

1. Последняя цифра 6 — чётная: делится на 2; не делится на 5 и 10.
2. Сумма цифр $7 + 2 + 3 + 6 = 18$: делится на 3 и на 9.
3. На 6: делится на 2 и на 3 — значит, делится.
4. На 4: число 36 делится на 4 — делится.
5. Проверка одного из выводов: $7\,236 : 9 = 804$. Верно.

Ответ: делится на 2, 3, 4, 6, 9; не делится на 5 и 10.

Разобранный пример 2

Какую цифру нужно поставить вместо звёздочки, чтобы число $52*$ делилось на 3 и на 5?

1. На 5: последняя цифра 0 или 5.
2. Сумма цифр: $5 + 2 + 0 = 7$ — не делится на 3; $5 + 2 + 5 = 12$ — делится.
3. Значит, $* = 5$, число 525.

Ответ: 5.

Свойства делимости

• Если каждое слагаемое делится на число, то и сумма делится на это число: $24 + 36$ делится на 12.
• Если один множитель делится на число, то и произведение делится на него: $15 \cdot 7$ делится на 5.

Типичные ошибки

• Путать делитель и кратное: «24 — делитель 6». Наоборот: 6 — делитель 24, 24 — кратное 6.
• Проверять делимость на 3 и 9 по последней цифре, а на 2 и 5 — по сумме цифр.
• Считать, что число делится на 9, если делится на 3 (12 делится на 3, но не на 9). Обратное верно: делится на 9 — значит, делится на 3.
• Забывать, что 1 и само число тоже делители.
• Для делимости на 6 проверять только одно условие из двух.

Что дальше

• Простые и составные числа — числа, у которых ровно два делителя, называют простыми; научимся раскладывать числа на простые множители.
• Олимпиадные методы теории чисел — в старших классах делимость превращается в олимпиадную теорию чисел.