Действия с натуральными числами и их свойства

Зачем это нужно

Как быстро вычислить $25 \cdot 37 \cdot 4$ или $78 + 156 + 22 + 44$? Если считать подряд, получится долго. Но если знать свойства действий, ответ находится за секунды: $25 \cdot 4 = 100$, $100 \cdot 37 = 3\,700$.

Свойства сложения и умножения — это «правила игры» с числами. Они верны для любых чисел и поэтому записываются буквами. Именно они позволяют упрощать выражения, а в 7 классе станут основой всех алгебраических преобразований.

Компоненты действий

Связь между компонентами помогает решать уравнения и проверять вычисления.

Свойства сложения

Переместительное: $a + b = b + a$. От перестановки слагаемых сумма не меняется.

Сочетательное: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно прибавить сначала первое слагаемое, а потом второе.

Свойство нуля: $a + 0 = 0 + a = a$.

Вместе эти свойства позволяют переставлять и группировать слагаемые как угодно. Удобно группировать так, чтобы получались круглые числа.

Разобранный пример 1

Вычислите удобным способом: $78 + 156 + 22 + 44$.

1. Заметим «дружные» пары: $78 + 22 = 100$, $156 + 44 = 200$.
2. Переставим и сгруппируем: $(78 + 22) + (156 + 44) = 100 + 200 = 300$.
3. Проверка подряд: $78 + 156 = 234$, $234 + 22 = 256$, $256 + 44 = 300$. Совпало.

Ответ: 300.

Свойства вычитания

Вычитание суммы из числа: $a - (b + c) = a - b - c$. Чтобы вычесть сумму, можно вычесть сначала одно слагаемое, потом другое.

Вычитание числа из суммы: $(a + b) - c = (a - c) + b$, если $a \ge c$. Вычитаемое можно отнять от того слагаемого, от которого удобнее.

Например: $(347 + 186) - 147 = (347 - 147) + 186 = 200 + 186 = 386$.

Свойства нуля: $a - 0 = a$, $a - a = 0$.

Свойства умножения

Переместительное: $a \cdot b = b \cdot a$.

Сочетательное: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

Свойства единицы и нуля: $a \cdot 1 = a$, $a \cdot 0 = 0$.

Полезные «дружные» пары для умножения: $2 \cdot 5 = 10$, $4 \cdot 25 = 100$, $8 \cdot 125 = 1\,000$.

$25 \cdot 37 \cdot 4 = (25 \cdot 4) \cdot 37 = 100 \cdot 37 = 3\,700.$

Распределительное свойство

Это самое важное свойство — оно связывает умножение со сложением и вычитанием:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c, \qquad a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c.$

Его можно читать в обе стороны:

• слева направо — раскрытие скобок: $7 \cdot (10 + 3) = 70 + 21 = 91$;
• справа налево — вынесение общего множителя за скобки: $17 \cdot 6 + 17 \cdot 4 = 17 \cdot (6 + 4) = 17 \cdot 10 = 170$.

Разобранный пример 2

Вычислите: $99 \cdot 46$.

1. $99 = 100 - 1$.
2. $99 \cdot 46 = (100 - 1) \cdot 46 = 4\,600 - 46 = 4\,554$.
3. Проверка прикидкой: $100 \cdot 46 = 4\,600$, наш ответ чуть меньше — верно.

Ответ: 4 554.

Упрощение выражений

Распределительное свойство позволяет приводить подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью:

$5x + 3x = (5 + 3) \cdot x = 8x, \qquad 12a - 7a = 5a, \qquad 4y + y = 5y.$

Знак умножения между числом и буквой обычно не пишут: $8x$ означает $8 \cdot x$. А $y$ — это $1 \cdot y$.

Разобранный пример 3

Упростите выражение $7m + 15 + 3m$ и найдите его значение при $m = 6$.

1. Подобные слагаемые: $7m + 3m = 10m$.
2. Выражение: $10m + 15$.
3. При $m = 6$: $10 \cdot 6 + 15 = 75$.
4. Проверка подстановкой в исходное: $7 \cdot 6 + 15 + 3 \cdot 6 = 42 + 15 + 18 = 75$. Совпало.

Ответ: $10m + 15$; 75.

Порядок действий

1. Действия в скобках.
2. Умножение и деление — по порядку слева направо.
3. Сложение и вычитание — по порядку слева направо.

Пример: $120 - 40 : 8 \cdot 3 = 120 - 5 \cdot 3 = 120 - 15 = 105$.

Рациональные приёмы вычислений

Свойства действий дают несколько приёмов, которые пригодятся всегда:

Прежде чем считать «в лоб», посмотрите на выражение секунду: нет ли в нём удобных пар? Такой взгляд на числа — первый шаг к алгебраическому мышлению, где мы преобразуем выражения, не вычисляя их.

Деление: свойства с нулём и единицей

• $a : 1 = a$; $a : a = 1$ (при $a \ne 0$); $0 : a = 0$ (при $a \ne 0$).
• На ноль делить нельзя.

Почему свойства верны

Свойства — не договорённость, а следствие смысла действий. Переместительное свойство умножения видно на прямоугольнике из клеток: 3 ряда по 5 клеток и 5 рядов по 3 клетки — это один и тот же прямоугольник, только повёрнутый. Распределительное свойство видно на рисунке выше: площадь большого прямоугольника равна сумме площадей двух его частей. Сочетательное свойство умножения можно увидеть на кубиках: коробку $2 \times 3 \times 4$ можно считать слоями по $2 \cdot 3$ или столбиками по $3 \cdot 4$ — кубиков в ней одинаково.

Типичные ошибки

• Применять «переместительное свойство» к вычитанию и делению: $10 - 3 \ne 3 - 10$, $12 : 4 \ne 4 : 12$.
• Раскрывать скобки, умножая только первое слагаемое: $7(10 + 3) = 70 + 3$.
• Складывать неподобные слагаемые: $5x + 3 = 8x$ — неверно.
• Нарушать порядок действий: в $120 - 40 : 8$ сначала вычитать.
• Забывать, что $y = 1 \cdot y$: $4y + y = 4y$ — неверно, правильно $5y$.

Что дальше

• Степень числа. Квадрат и куб — умножение одинаковых множителей записывают степенью.
• Буквенные выражения и уравнения — упрощение выражений поможет решать уравнения вида $3x + 5x = 64$.
• Обыкновенные дроби, Действия с десятичными дробями — свойства действий останутся верными и для дробей.
• Делители и кратные. Признаки делимости, Перебор вариантов. Правило умножения — делимость и подсчёт вариантов опираются на умножение.