НОД и НОК

Зачем это нужно

Есть 24 яблока и 36 груш. Какое наибольшее число одинаковых подарков можно составить, использовав все фрукты? Автобусы отходят от остановки каждые 12 и 18 минут; сейчас ушли одновременно — когда снова уйдут вместе? Первая задача решается наибольшим общим делителем (НОД), вторая — наименьшим общим кратным (НОК).

НОД нужен, чтобы сокращать дроби до несократимых, а НОК — чтобы приводить дроби к наименьшему общему знаменателю. Без этих двух понятий не обойтись в следующей теме — сложении дробей с разными знаменателями.

Наибольший общий делитель

Общий делитель нескольких чисел — число, на которое делится каждое из них. Наибольший общий делитель (НОД) — самый большой из них.

Делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Общие: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший — 12. Пишут: $\text{НОД}(24, 36) = 12$.

Наименьшее общее кратное

Общее кратное нескольких чисел — число, которое делится на каждое из них. Наименьшее общее кратное (НОК) — наименьшее из них (натуральное).

Кратные 12: 12, 24, 36, 48, … Кратные 18: 18, 36, 54, … Наименьшее общее — 36. Пишут: $\text{НОК}(12, 18) = 36$.

Через разложение на простые множители

Перебор удобен для маленьких чисел. Для больших используют разложение.

Как найти НОД:

1. Разложите числа на простые множители.
2. Выпишите общие множители (каждый столько раз, сколько он входит в оба разложения).
3. Перемножьте их.

Как найти НОК:

1. Разложите числа на простые множители.
2. Возьмите разложение большего числа и допишите недостающие множители из разложения другого числа.
3. Перемножьте.

Разобранный пример 1

Найдите НОД и НОК чисел 24 и 36.

1. $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$, $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$.
2. Общие множители: $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$. $\text{НОД} = 12$.
3. НОК: берём разложение 36 ($2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$) и дописываем недостающую двойку из 24: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 72$. $\text{НОК} = 72$.
4. Проверка: $72 : 24 = 3$, $72 : 36 = 2$ — оба делят. И полезное равенство: $\text{НОД} \cdot \text{НОК} = 12 \cdot 72 = 864 = 24 \cdot 36$.

Ответ: НОД = 12, НОК = 72.

Для двух чисел всегда $\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = a \cdot b$. Это удобная проверка.

Взаимно простые числа

Числа, у которых $\text{НОД} = 1$, называют взаимно простыми: 8 и 15, 9 и 10, 14 и 25. Сами они могут быть составными — важно лишь, что общих множителей нет.

Для взаимно простых чисел НОК равно их произведению: $\text{НОК}(8, 15) = 120$.

Особые случаи

• Если одно число делится на другое, то НОД — меньшее, НОК — большее: $\text{НОД}(12, 48) = 12$, $\text{НОК}(12, 48) = 48$.
• Соседние натуральные числа всегда взаимно просты: $\text{НОД}(20, 21) = 1$.

Алгоритм Евклида (для любознательных)

Есть древний и очень быстрый способ найти НОД без разложения: большее число заменяем остатком от его деления на меньшее, пока не получим 0. Последний ненулевой остаток — НОД.

$\text{НОД}(84, 36)$: $84 = 36 \cdot 2 + 12$; $36 = 12 \cdot 3 + 0$. Значит, $\text{НОД} = 12$.

Задачи

Разобранный пример 2 (НОД)

Из 24 яблок и 36 груш составляют одинаковые подарки, используя все фрукты. Какое наибольшее число подарков можно составить? Сколько в каждом яблок и груш?

1. Число подарков должно делить и 24, и 36, причём быть наибольшим: $\text{НОД}(24, 36) = 12$.
2. В каждом подарке: $24 : 12 = 2$ яблока и $36 : 12 = 3$ груши.

Ответ: 12 подарков по 2 яблока и 3 груши.

Разобранный пример 3 (НОК)

Автобусы отходят каждые 12 и 18 минут, сейчас ушли вместе. Через сколько минут они снова отправятся одновременно?

1. Искомое время делится и на 12, и на 18, и оно наименьшее: $\text{НОК}(12, 18) = 36$.

Ответ: через 36 минут.

Как отличить? Если что-то делят на равные части и ищут наибольшее — это НОД. Если ищут, когда что-то совпадёт (повторится одновременно), — это НОК.

НОД и НОК в дробях

Посмотрим, как эти понятия работают в следующей теме. Чтобы сократить дробь $\frac{36}{48}$ сразу до несократимой, делим числитель и знаменатель на $\text{НОД}(36, 48) = 12$: получаем $\frac{3}{4}$. А чтобы сложить $\frac{5}{12} + \frac{7}{18}$, удобнее всего общий знаменатель $\text{НОК}(12, 18) = 36$ — тогда числа остаются небольшими.

Типичные ошибки

• Путать НОД и НОК: для 12 и 18 ответить «НОД = 36».
• При нахождении НОД перемножать все множители, а не только общие.
• При нахождении НОК перемножать числа целиком: $\text{НОК}(12, 18) = 216$ — это общее кратное, но не наименьшее.
• Считать, что взаимно простые числа обязательно простые.
• Терять повторяющиеся множители при выписывании общих.

Что дальше

• Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями — НОД понадобится для сокращения дробей, НОК — для приведения к наименьшему общему знаменателю.