Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Зачем это нужно

Сколько будет $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$? Половина и треть — доли разного размера, и сложить их «как есть» нельзя: это всё равно что складывать метры с сантиметрами. Сначала дроби нужно выразить в одинаковых долях — привести к общему знаменателю.

Это одно из важнейших умений школьной математики. Оно понадобится в алгебре при сложении дробей с буквами ($\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+1}$), в физике (сопротивление параллельных проводников), в вероятности. А начинается всё с основного свойства дроби.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, получится равная ей дробь:

$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} = \frac{a : n}{b : n}.$

Почему? $\dfrac{1}{2}$ торта и $\dfrac{2}{4}$ торта — один и тот же кусок: если каждую половину разрезать пополам, долей станет вдвое больше, но каждая будет вдвое меньше.

Сокращение дробей

Сократить дробь — разделить числитель и знаменатель на их общий делитель. Если разделить на НОД, получится несократимая дробь — её числитель и знаменатель взаимно просты.

$\frac{24}{36} = \frac{24 : 12}{36 : 12} = \frac{2}{3}, \qquad \text{НОД}(24, 36) = 12.$

Можно сокращать и по шагам: $\dfrac{24}{36} = \dfrac{12}{18} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$. Ответ в задачах принято записывать несократимой дробью.

Приведение к общему знаменателю

Чтобы сложить или сравнить дроби с разными знаменателями, их приводят к общему знаменателю — числу, которое делится на оба знаменателя. Удобнее всего брать наименьший общий знаменатель — НОК знаменателей.

Алгоритм:

1. Найдите НОК знаменателей — это новый знаменатель.
2. Для каждой дроби найдите дополнительный множитель: НОК, делённый на её знаменатель.
3. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

Разобранный пример 1

Приведите к общему знаменателю $\dfrac{5}{6}$ и $\dfrac{3}{8}$.

1. $\text{НОК}(6, 8) = 24$.
2. Дополнительные множители: $24 : 6 = 4$, $24 : 8 = 3$.
3. $\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \cdot 4}{24} = \dfrac{20}{24}$, $\dfrac{3}{8} = \dfrac{3 \cdot 3}{24} = \dfrac{9}{24}$.

Сравнение, сложение и вычитание

После приведения к общему знаменателю всё делается, как с одинаковыми знаменателями:

$\frac{5}{6} + \frac{3}{8} = \frac{20}{24} + \frac{9}{24} = \frac{29}{24} = 1\frac{5}{24}, \qquad \frac{5}{6} - \frac{3}{8} = \frac{20 - 9}{24} = \frac{11}{24}.$

Сравнение: $\dfrac{5}{6} > \dfrac{3}{8}$, потому что $\dfrac{20}{24} > \dfrac{9}{24}$.

Разобранный пример 2

Вычислите $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$.

1. НОК(2, 3) = 6. Дополнительные множители 3 и 2.
2. $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$.
3. Проверка на часах: половина часа — 30 мин, треть — 20 мин, вместе 50 мин, а это $\dfrac{50}{60} = \dfrac{5}{6}$ часа. Верно.

Ответ: $\dfrac{5}{6}$.

Смешанные числа

Целые части складывают (вычитают) отдельно, дробные — по общему знаменателю.

Разобранный пример 3

Вычислите $3\dfrac{1}{4} - 1\dfrac{5}{6}$.

1. Дробные части к знаменателю 12: $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$, $\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}$.
2. $3\dfrac{3}{12} - 1\dfrac{10}{12}$: из $\dfrac{3}{12}$ не вычесть $\dfrac{10}{12}$ — занимаем единицу: $2\dfrac{15}{12} - 1\dfrac{10}{12} = 1\dfrac{5}{12}$.
3. Проверка: $1\dfrac{5}{12} + 1\dfrac{10}{12} = 2\dfrac{15}{12} = 3\dfrac{3}{12} = 3\dfrac{1}{4}$. Верно.

Ответ: $1\dfrac{5}{12}$.

Как выбрать общий знаменатель быстро

Не всегда нужно раскладывать знаменатели на множители:

• если больший знаменатель делится на меньший, он и есть общий: для $\frac{1}{4}$ и $\frac{5}{12}$ это 12;
• если знаменатели взаимно просты, общий знаменатель — их произведение: для $\frac{2}{5}$ и $\frac{1}{3}$ это 15;
• в остальных случаях ищем НОК: для $\frac{5}{6}$ и $\frac{3}{8}$ — 24.

Можно взять и просто произведение знаменателей (для 6 и 8 это 48) — ответ получится тот же, но числа будут больше, и результат придётся сокращать.

Сравнение дробей другими способами

Иногда удобнее не приводить к общему знаменателю, а сравнивать с «опорными» числами. Например, $\frac{5}{11}$ меньше половины, а $\frac{7}{13}$ больше половины, значит $\frac{5}{11} < \frac{7}{13}$. Или сравнить «недостачу до единицы»: $\frac{9}{10}$ не хватает $\frac{1}{10}$, а $\frac{10}{11}$ — только $\frac{1}{11}$; поэтому $\frac{10}{11}$ больше.

Почему нельзя складывать «числители с числителями, знаменатели со знаменателями»

Ученик пишет: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{5}$. Но $\dfrac{2}{5}$ меньше $\dfrac{1}{2}$ — сумма получилась меньше одного из слагаемых, чего быть не может! Такая «прикидка на здравый смысл» — лучшая защита от этой ошибки.

История вопроса

Сложение дробей с разными знаменателями долго считалось одним из самых трудных разделов арифметики. В средневековой Европе о человеке, попавшем в безвыходное положение, говорили: «попал в дроби». Способ приводить дроби к наименьшему общему знаменателю через НОК подробно описал итальянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в «Книге абака» в 1202 году.

Типичные ошибки

• Складывать знаменатели: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{5}$.
• Умножать на дополнительный множитель только знаменатель, забыв про числитель.
• Сокращать слагаемые, а не множители: $\dfrac{3 + 5}{3}$ — сокращать на 3 нельзя!
• Оставлять ответ сократимой дробью или неправильной дробью, когда просят смешанное число.
• Брать слишком большой общий знаменатель (произведение), а потом не сокращать результат.

Что дальше

• Умножение и деление дробей — умножение и деление дробей (к общему знаменателю приводить уже не нужно).
• Рациональные дроби. Сокращение, сложение и вычитание — в 8 классе так же будем складывать дроби с буквами.