ЭДС. Закон Ома для полной цепи

Зачем это нужно

Почему фонарик со старой батарейкой светит тускло, хотя «вольт на ней по-прежнему 1,5»? Почему при запуске двигателя автомобиля гаснут фары? Почему замыкание проводов аккумулятора может расплавить гаечный ключ? Чтобы ответить, нужно учесть, что источник тока — не идеальный: у него есть внутреннее сопротивление. Закон Ома для полной цепи — основа расчёта любого питания, от часов до электромобиля.

Сторонние силы и ЭДС

Электростатическое поле не может поддерживать ток в замкнутой цепи: работа его сил по замкнутому пути равна нулю. Внутри источника заряды должны двигаться «против» поля — от минуса к плюсу. Это делают сторонние силы неэлектростатической природы: химические (в батарейке и аккумуляторе), магнитные (в генераторе), световые (в солнечной батарее), тепловые (в термопаре).

Электродвижущая сила (ЭДС) — работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда по цепи:

$\mathcal{E} = \frac{A_{ст}}{q}.$

Единица — вольт. ЭДС пальчиковой батарейки 1,5 В, автомобильного аккумулятора 12 В, литий-ионного элемента 3,7 В.

Закон Ома для полной цепи

Источник обладает внутренним сопротивлением $r$ — сопротивлением электролита, обмоток или полупроводника. Работа сторонних сил превращается в теплоту во внешней ($R$) и внутренней ($r$) частях цепи: $\mathcal{E} I t = I^2 R t + I^2 r t$. Отсюда:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}.$

Сила тока в полной цепи равна ЭДС, делённой на полное сопротивление цепи. Напряжение на зажимах источника (его показывает вольтметр):

$U = IR = \mathcal{E} - Ir.$

Чем больше ток, тем меньше напряжение на выходе: часть ЭДС «теряется» внутри источника. При разомкнутой цепи ($I = 0$) $U = \mathcal{E}$ — так ЭДС и измеряют.

Разобранный пример 1

Источник с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением 1 Ом подключён к резистору 5 Ом. Найдите ток и напряжение на зажимах.

$I = \frac{12}{5 + 1} = 2$ А, $U = 12 - 2 \cdot 1 = 10$ В.

Короткое замыкание

Если внешнее сопротивление близко к нулю, ток максимален:

$I_{кз} = \frac{\mathcal{E}}{r}.$

У автомобильного аккумулятора $r \approx 0{,}01$ Ом, и ток короткого замыкания достигает 1000 А — металл плавится, возможен пожар. Поэтому в цепях ставят предохранители и автоматические выключатели.

Разобранный пример 2

При токе 2 А напряжение на зажимах источника 10 В, а при токе 4 А — 8 В. Найдите ЭДС и внутреннее сопротивление.

1. $\mathcal{E} - 2r = 10$, $\mathcal{E} - 4r = 8$.
2. Вычитая: $2r = 2$, $r = 1$ Ом, $\mathcal{E} = 12$ В. Ток короткого замыкания — 12 А.

Мощность и КПД источника

Полная мощность источника $P_{полн} = \mathcal{E} I$, полезная (во внешней цепи) $P = I^2 R$. КПД источника:

$\eta = \frac{U}{\mathcal{E}} = \frac{R}{R + r}.$

Полезная мощность максимальна при $R = r$ и равна $\frac{\mathcal{E}^2}{4r}$; КПД при этом всего 50 %. Поэтому электростанции работают при $R \gg r$ ради высокого КПД, а в радиотехнике, где важна максимальная мощность сигнала, сопротивления «согласуют».

Разобранный пример 3

Какую наибольшую мощность можно получить во внешней цепи от источника 12 В с внутренним сопротивлением 1 Ом?

$P_{max} = \frac{144}{4} = 36$ Вт при $R = 1$ Ом.

Соединение источников

• Последовательно (плюс к минусу): ЭДС и внутренние сопротивления складываются: $\mathcal{E} = n\mathcal{E}_1$, $r = nr_1$. Так собирают батареи из элементов.
• Параллельно $n$ одинаковых: ЭДС та же, внутреннее сопротивление $\frac{r_1}{n}$ — можно отдавать больший ток.

Разобранный пример 4

Четыре батарейки по 1,5 В с внутренним сопротивлением 0,5 Ом соединены последовательно и подключены к лампочке 4 Ом. Найдите ток.

$\mathcal{E} = 6$ В, $r = 2$ Ом, $I = \frac{6}{4 + 2} = 1$ А.

Правила Кирхгофа (углублённо)

Для разветвлённых цепей с несколькими источниками применяют правила Кирхгофа:

1. Для узла: сумма токов, входящих в узел, равна сумме выходящих (следствие сохранения заряда).
2. Для контура: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряжения $IR$ равна алгебраической сумме ЭДС.

Например, если в одном контуре источники 12 В и 6 В (по 1 Ом) включены навстречу друг другу с резистором 4 Ом, то $I = \frac{12 - 6}{1 + 1 + 4} = 1$ А. Так идёт зарядка аккумулятора от более сильного источника.

Типичные ошибки

• Забывать внутреннее сопротивление: $I = \mathcal{E}/R$ вместо $\mathcal{E}/(R + r)$.
• Считать, что напряжение на зажимах всегда равно ЭДС.
• При последовательном соединении источников забывать складывать их внутренние сопротивления.
• Путать условие максимальной мощности ($R = r$) и максимального КПД ($R \gg r$).

Что дальше

• Электрический ток в различных средах — природа тока в различных средах.
• Постоянный ток — постоянный ток углублённо.