Законы постоянного тока — Ranimus, Ветвь разума

Зачем это нужно

Электрический ток питает всё вокруг: свет в квартире, телефон, компьютер, электромобиль. Чтобы правильно подключить прибор, выбрать сечение провода, рассчитать предохранитель, понять, сколько стоит работа чайника или почему греется зарядка, нужны законы постоянного тока. Они просты, но работают в огромном диапазоне — от микросхем до электростанций. В 8 классе вы их уже встречали; теперь углубим понимание и научимся решать задачи на сложные цепи.

Электрический ток и условия его существования

Электрический ток — упорядоченное движение заряженных частиц. За направление тока принято направление движения положительных зарядов (в металлах электроны движутся в обратную сторону). Сила тока — заряд, проходящий через сечение проводника за единицу времени:

$I = \frac{q}{t}.$

Единица — ампер (А). Для существования тока нужны: свободные заряженные частицы; электрическое поле, которое их движет (его поддерживает источник тока); замкнутая цепь.

Через скорость носителей сила тока выражается как $I = qnvS$ , где $n$ — концентрация носителей, $v$ — средняя скорость их направленного движения. Эта скорость удивительно мала.

Разобранный пример 1

По медному проводу сечением 1 мм² течёт ток 1 А. Концентрация свободных электронов $8{,}5 \cdot 10^{28}$ м⁻³. Найдите скорость их направленного движения.

$v = \frac{I}{enS} = \frac{1}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 8{,}5 \cdot 10^{28} \cdot 10^{-6}} \approx 7 \cdot 10^{-5}$ м/с — меньше десятой доли миллиметра в секунду! Свет же загорается мгновенно, потому что со скоростью около скорости света по проводам распространяется электрическое поле, и электроны начинают двигаться сразу по всей цепи.

Закон Ома для участка цепи

Сила тока на участке цепи прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению:

$I = \frac{U}{R}.$

Сопротивление проводника зависит от материала и размеров:

$R = \rho \frac{l}{S},$

где $\rho$ — удельное сопротивление (Ом·м). У меди $1{,}7 \cdot 10^{-8}$ Ом·м, у алюминия $2{,}8 \cdot 10^{-8}$ , у нихрома $1{,}1 \cdot 10^{-6}$ . У металлов сопротивление растёт при нагревании.

Разобранный пример 2

Найдите сопротивление медного провода длиной 100 м и сечением 0,5 мм².

$R = 1{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{100}{0{,}5 \cdot 10^{-6}} = 3{,}4$ Ом.

Соединения проводников

	Последовательное	Параллельное
сила тока	одинакова: $I = I_1 = I_2$	складывается: $I = I_1 + I_2$
напряжение	складывается: $U = U_1 + U_2$	одинаково: $U = U_1 = U_2$
сопротивление	$R = R_1 + R_2$	$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

При параллельном соединении общее сопротивление меньше наименьшего. Для двух резисторов удобно $R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ . Квартирная проводка — параллельная: каждый прибор получает полное напряжение сети и работает независимо.

Схема: источник 12 В, амперметр, резистор R₁ = 2 Ом с подключённым параллельно вольтметром и параллельные резисторы 3 Ом и 6 Ом

Разобранный пример 3

Рассчитайте цепь на рисунке (источник считаем идеальным).

Параллельный участок: $R_{23} = \frac{3 \cdot 6}{9} = 2$ Ом.
Всего: $R = 2 + 2 = 4$ Ом, ток $I = \frac{12}{4} = 3$ А — его покажет амперметр.
Вольтметр: $U_1 = 3 \cdot 2 = 6$ В; на параллельном участке тоже 6 В.
Токи в ветвях: $I_2 = \frac{6}{3} = 2$ А, $I_3 = \frac{6}{6} = 1$ А. Проверка: $2 + 1 = 3$ А.

Измерительные приборы

Амперметр включают последовательно, его сопротивление должно быть очень мало. Вольтметр — параллельно участку, его сопротивление должно быть очень велико. Чтобы расширить пределы амперметра в $n$ раз, параллельно ему ставят шунт $R_ш = \frac{R_A}{n - 1}$ ; для вольтметра последовательно добавляют добавочное сопротивление $R_д = R_V (n - 1)$ .

Работа и мощность тока

Перенося заряд $q = It$ , поле совершает работу:

$A = IUt, \qquad P = IU = I^2 R = \frac{U^2}{R}.$

Если вся работа идёт на нагревание, выделяется теплота по закону Джоуля–Ленца: $Q = I^2 R t$ . Счётчик электроэнергии считает работу тока в киловатт-часах: $1$ кВт·ч $= 3{,}6 \cdot 10^6$ Дж.

Разобранный пример 4

Чайник мощностью 2 кВт включён в сеть 220 В. Найдите силу тока, сопротивление спирали и время нагревания 1,5 л воды от 20 °C до кипения (потерь нет).

$I = \frac{2000}{220} \approx 9{,}1$ А, $R = \frac{220^2}{2000} = 24{,}2$ Ом.
$Q = 4200 \cdot 1{,}5 \cdot 80 = 504\,000$ Дж, $t = \frac{504\,000}{2000} = 252$ с ≈ 4 мин.

Разобранный пример 5

Лампы 100 Вт и 25 Вт (обе на 220 В) включили последовательно в сеть 220 В. Какая горит ярче?

Сопротивления: $R = \frac{U^2}{P}$ — 484 Ом и 1936 Ом. Ток одинаков, а $P = I^2 R$ больше у лампы с бо́льшим сопротивлением — у 25-ваттной. Неожиданно, но верно.

Немного истории

Георг Симон Ом открыл свой закон в 1826 году, измеряя ток в проводах разной длины и толщины с помощью крутильных весов и термопары как источника. Работу встретили холодно, Ому даже пришлось оставить место преподавателя. Признание пришло лишь через 15 лет, когда Лондонское королевское общество наградило его медалью Копли. Закон о тепловом действии тока независимо открыли Джеймс Джоуль (1841) и Эмилий Ленц (1842), академик Петербургской академии наук.

Типичные ошибки

Включать амперметр параллельно, а вольтметр последовательно.
Путать формулы последовательного и параллельного соединений.
Использовать $P = I^2R$ и $P = U^2/R$ , не проверив, что постоянно — ток или напряжение.
Забывать переводить мм² в м² в формуле сопротивления.

Что дальше

ЭДС. Закон Ома для полной цепи — ЭДС и закон Ома для полной цепи.
Электрический ток в различных средах — ток в металлах, электролитах, газах и полупроводниках.
Магнитное поле. Сила Ампера и сила Лоренца — магнитное действие тока.