Множества и операции над ними

Зачем это нужно

Множество — одно из основных понятий математики. С множествами мы встречаемся постоянно: ученики класса, буквы алфавита, натуральные числа, решения уравнения, товары в корзине интернет-магазина. Поисковые запросы и фильтры («красные и до 1000 рублей», «Москва или Петербург») — это операции над множествами. В теории вероятностей события описываются как множества исходов, поэтому эта тема — фундамент для следующей.

Множество и его элементы

Множество — совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое. Объекты называют элементами множества.

• Множества обозначают большими латинскими буквами: $A$, $B$, $\mathbb{N}$.
• Запись $a \in A$ означает «$a$ принадлежит $A$», а $b \notin A$ — «$b$ не принадлежит $A$».
• Множество можно задать перечислением: $A = \{1, 3, 5, 7\}$, или свойством: «множество нечётных чисел от 1 до 7».
• Пустое множество $\varnothing$ не содержит ни одного элемента (например, множество решений уравнения $x + 1 = x$).

Порядок элементов не важен, и каждый элемент учитывается один раз: $\{1, 2, 3\} = \{3, 1, 2\}$.

Подмножество

Множество $B$ называется подмножеством множества $A$ ($B \subset A$), если каждый элемент $B$ принадлежит $A$. Например, множество квадратов — подмножество множества прямоугольников; множество учеников 7 «А» — подмножество учеников школы.

У множества из $n$ элементов $2^n$ подмножеств (включая пустое и само множество): каждый элемент можно включить или не включить.

Операции над множествами

Универсальное множество $U$ — множество всех рассматриваемых объектов (на рисунке — весь класс).

Разобранный пример 1

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $B = \{4, 5, 6, 7\}$. Найдите $A \cap B$, $A \cup B$, $A \setminus B$.

1. $A \cap B = \{4, 5\}$ — общие элементы.
2. $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ — все элементы без повторов.
3. $A \setminus B = \{1, 2, 3\}$.

Диаграммы Эйлера и подсчёт элементов

Множества удобно изображать кругами Эйлера (диаграммами Эйлера — Венна): прямоугольник — универсальное множество, круги внутри — его подмножества.

Число элементов конечного множества $A$ обозначают $|A|$ или $n(A)$. Если сложить $|A|$ и $|B|$, общие элементы будут посчитаны дважды, поэтому

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|.$

Это формула включений и исключений для двух множеств.

Разобранный пример 2

В классе 30 учеников. 18 играют в футбол, 12 — в шахматы, 5 — и в то, и в другое. Сколько учеников не занимается ни тем, ни другим?

1. Занимаются хотя бы одним: $|A \cup B| = 18 + 12 - 5 = 25$.
2. Ни тем, ни другим: $30 - 25 = 5$.
3. Проверка по рисунку: только футбол $18 - 5 = 13$, только шахматы $12 - 5 = 7$; $13 + 5 + 7 + 5 = 30$.

Разобранный пример 3

Из 40 туристов 25 знают английский, 18 — немецкий, 7 не знают ни одного из этих языков. Сколько знают оба языка?

1. Знают хотя бы один: $40 - 7 = 33$.
2. $33 = 25 + 18 - x$, откуда $x = 10$.

Множества и логика

Операции над множествами соответствуют логическим связкам: пересечение — «и», объединение — «или», дополнение — «не». Поэтому в поисковых системах и базах данных запрос «кошки И собаки» выдаёт меньше результатов (пересечение), чем «кошки ИЛИ собаки» (объединение).

Числовые множества

Некоторые множества настолько важны, что получили собственные обозначения:

• $\mathbb{N}$ — натуральные числа: 1, 2, 3, …;
• $\mathbb{Z}$ — целые числа: …, −2, −1, 0, 1, 2, …;
• $\mathbb{Q}$ — рациональные числа (дроби $\frac{p}{q}$).

Каждое следующее содержит предыдущее: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$. На диаграмме Эйлера это три вложенных круга. Позже появятся иррациональные и действительные числа.

История вопроса

Круги для изображения понятий использовал великий математик Леонард Эйлер (1707–1783), который много лет работал в Петербургской академии наук. В «Письмах к немецкой принцессе» он объяснял с их помощью логические рассуждения. Английский логик Джон Венн в 1880 году предложил рисовать круги так, чтобы были видны все возможные пересечения, — отсюда название «диаграммы Эйлера — Венна». А строгую теорию множеств в конце XIX века создал немецкий математик Георг Кантор; сегодня она лежит в основании всей математики.

Типичные ошибки

• Путать пересечение и объединение: «и» — пересечение, «или» — объединение.
• Складывать $|A| + |B|$, забывая вычесть общие элементы.
• Записывать повторяющиеся элементы в объединении: $\{1, 2\} \cup \{2, 3\} = \{1, 2, 3\}$, а не $\{1, 2, 2, 3\}$.
• Забывать про элементы вне всех кругов при подсчёте.
• Путать знаки $\in$ (элемент принадлежит множеству) и $\subset$ (множество — подмножество).

Что дальше

• Случайные события. Классическая вероятность — случайные события как множества исходов и классическая вероятность.
• Элементы комбинаторики — подсчёт числа вариантов: перестановки и сочетания.