Случайные события. Классическая вероятность

Зачем это нужно

Пойдёт ли завтра дождь? Выпадет ли «орёл»? Попадёт ли баскетболист штрафной? Заранее ответить точно нельзя — такие явления случайны. Но даже у случайности есть законы: можно оценить, насколько вероятно то или иное событие. Теория вероятностей помогает страховым компаниям рассчитывать взносы, врачам — оценивать риски лечения, инженерам — надёжность самолётов, синоптикам — составлять прогнозы. Задача на вероятность есть и в ОГЭ, и в ЕГЭ.

Случайный опыт и случайные события

Случайный опыт (эксперимент) — опыт, результат которого нельзя предсказать заранее: бросание монеты или кубика, выбор билета на экзамене, лотерея.

Случайное событие — событие, которое в результате опыта может произойти, а может не произойти: «выпало 6 очков», «вытянут счастливый билет».

Особые события:

• достоверное — происходит обязательно («на кубике выпало не больше 6 очков»);
• невозможное — не может произойти никогда («на кубике выпало 7 очков»).

Элементарные события

Элементарные события (исходы) — все возможные результаты опыта, которые нельзя разделить на более простые и из которых происходит ровно один.

• Монета: 2 исхода — «орёл», «решка».
• Кубик: 6 исходов — 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Две монеты: 4 исхода — ОО, ОР, РО, РР (важно: ОР и РО — разные исходы!).

Исходы называют равновозможными, если ни у одного из них нет преимущества: монета симметрична, кубик честный, карты хорошо перемешаны.

Элементарные исходы, при которых событие $A$ наступает, называют благоприятствующими событию $A$. Событие — это множество благоприятствующих исходов (вот где пригодилась предыдущая тема).

Классическое определение вероятности

Если опыт имеет $n$ равновозможных элементарных исходов, из которых $m$ благоприятствуют событию $A$, то вероятность события $A$:

$P(A) = \frac{m}{n}.$

Свойства вероятности:

• $0 \le P(A) \le 1$;
• вероятность достоверного события равна 1, невозможного — 0;
• вероятность часто записывают десятичной дробью или в процентах: $\frac{1}{4} = 0{,}25 = 25\,\%$.

Разобранный пример 1

Бросают кубик. Найдите вероятность того, что выпадет число, большее 4.

1. Всего исходов $n = 6$.
2. Благоприятствуют: 5 и 6, $m = 2$.
3. $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33$.

Разобранный пример 2

В лотерее 500 билетов, из них 15 выигрышных. Какова вероятность выиграть, купив один билет?

$P = \frac{15}{500} = 0{,}03$, то есть 3 %.

Разобранный пример 3

Бросают две монеты. Найдите вероятность того, что выпадут один орёл и одна решка.

1. Исходы: ОО, ОР, РО, РР — $n = 4$.
2. Благоприятствуют: ОР и РО — $m = 2$.
3. $P = \frac{2}{4} = 0{,}5$. (Частая ошибка — считать исходы «два орла», «две решки», «по одному» и получать $\frac{1}{3}$: эти три исхода не равновозможны.)

Противоположное событие

Событие $\overline{A}$ («не $A$») называют противоположным событию $A$: оно происходит тогда и только тогда, когда $A$ не происходит. Так как $m + \overline{m} = n$,

$P(\overline{A}) = 1 - P(A).$

Разобранный пример 4

Из 25 экзаменационных билетов ученик не выучил 4. Какова вероятность, что ему достанется выученный билет?

$P(\text{не выучил}) = \frac{4}{25} = 0{,}16$; $P(\text{выучил}) = 1 - 0{,}16 = 0{,}84$.

Частота и вероятность

Если повторить опыт много раз, можно посчитать частоту события — долю опытов, в которых оно произошло:

$\text{частота} = \frac{\text{число опытов, где } A \text{ произошло}}{\text{число всех опытов}}.$

При большом числе опытов частота обычно приближается к вероятности. Французский естествоиспытатель Бюффон в XVIII веке подбросил монету 4040 раз — «орёл» выпал 2048 раз, частота $\approx 0{,}507$. Английский математик Карл Пирсон подбросил монету 24 000 раз и получил частоту $\approx 0{,}5005$. Но при малом числе опытов частота может сильно отличаться от вероятности: из 10 бросаний «орёл» вполне может выпасть 7 раз.

Как решать задачи на классическую вероятность

1. Опишите опыт и выпишите (или посчитайте) все элементарные исходы: $n$.
2. Проверьте равновозможность: исходы не должны иметь преимуществ друг перед другом.
3. Посчитайте благоприятствующие исходы: $m$. Если их много, используйте правило умножения или таблицу.
4. Найдите $P = m/n$ и при необходимости переведите в десятичную дробь.
5. Проверьте: $0 \le P \le 1$. Если искать «хотя бы один» трудно, найдите вероятность противоположного события.

История вопроса

Теория вероятностей родилась из азартных игр. В 1654 году французский игрок шевалье де Мере спросил Блеза Паскаля, как справедливо разделить ставку, если игру пришлось прервать. Паскаль обсудил задачу в письмах с другим великим математиком — Пьером Ферма, и в их переписке появились первые методы вычисления вероятностей. Позже Якоб Бернулли доказал закон больших чисел, а в XX веке русский математик Андрей Николаевич Колмогоров построил строгую аксиоматическую теорию вероятностей, на которой основана современная наука.

Типичные ошибки

• Применять формулу $\frac{m}{n}$ к неравновозможным исходам.
• Не различать исходы ОР и РО при бросании двух монет.
• Получать вероятность больше 1 — значит, перепутаны $m$ и $n$.
• Думать, что после пяти «решек» подряд «орёл» становится более вероятным. Монета «не помнит» прошлых бросаний.
• Путать частоту (результат опытов) и вероятность (число, найденное расчётом).

Что дальше

• Операции над событиями. Формула сложения вероятностей — объединение и пересечение событий, формула сложения вероятностей.
• Частоты, симуляции и закон больших чисел — частоты, компьютерные симуляции и закон больших чисел.