Формула полной вероятности

Зачем это нужно

Лампочки в магазин поставляют три завода, и у каждого свой процент брака. Какова вероятность, что купленная лампочка окажется бракованной? Половина учеников подготовилась к контрольной, половина нет: какова вероятность, что случайно выбранный ученик напишет её на «отлично»? В таких задачах событие может произойти разными путями, и для каждого пути вероятность своя. Формула полной вероятности собирает эти пути воедино. Это прямое продолжение правила умножения и дерева случайного опыта из 8 класса.

Гипотезы

События $H_1, H_2, \ldots, H_n$ образуют полную группу (их называют гипотезами), если:

1. они попарно несовместны — никакие два не происходят одновременно;
2. в результате опыта обязательно происходит одно из них.

Тогда $P(H_1) + P(H_2) + \ldots + P(H_n) = 1$. Примеры: «лампочка с завода 1», «с завода 2», «с завода 3»; «ученик подготовился» и «не подготовился».

Формула

Если $H_1, \ldots, H_n$ — полная группа, то для любого события $A$

$P(A) = P(H_1)\,P(A \mid H_1) + P(H_2)\,P(A \mid H_2) + \ldots + P(H_n)\,P(A \mid H_n).$

Почему так. Событие $A$ распадается на несовместные части: «$A$ и $H_1$», «$A$ и $H_2$» и т. д. По правилу умножения $P(A \text{ и } H_i) = P(H_i)\,P(A \mid H_i)$, а вероятности несовместных частей складываются.

На дереве это выглядит особенно наглядно: перемножаем вероятности вдоль каждого пути, ведущего к $A$, и складываем результаты.

Разобранный пример 1

Заводы выпускают 50 %, 30 % и 20 % лампочек, брак составляет 1 %, 2 % и 3 % соответственно. Найдите вероятность, что случайная лампочка бракованная.

$P(A) = 0{,}5 \cdot 0{,}01 + 0{,}3 \cdot 0{,}02 + 0{,}2 \cdot 0{,}03 = 0{,}005 + 0{,}006 + 0{,}006 = 0{,}017.$

Проверка на разумность: ответ лежит между наименьшим (1 %) и наибольшим (3 %) процентом брака — так и должно быть, это «взвешенное среднее».

Разобранный пример 2

В первой урне 3 белых и 2 чёрных шара, во второй — 1 белый и 4 чёрных. Бросают монету, выбирают урну и достают шар. Найдите вероятность, что он белый.

$P = 0{,}5 \cdot \frac{3}{5} + 0{,}5 \cdot \frac{1}{5} = 0{,}3 + 0{,}1 = 0{,}4.$

Обратите внимание: если ссыпать все шары в одну урну, получится $\frac{4}{10} = 0{,}4$ — здесь совпало, потому что в урнах поровну шаров. Если бы их было разное количество, ответы бы различались.

Разобранный пример 3

70 % учеников подготовились к экзамену и сдают его с вероятностью 0,9, остальные — с вероятностью 0,4. Какая доля учеников сдаст экзамен?

$P = 0{,}7 \cdot 0{,}9 + 0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}63 + 0{,}12 = 0{,}75.$

Разобранный пример 4

Дождь пойдёт с вероятностью 0,3. В дождь автобус опаздывает с вероятностью 0,5, без дождя — с вероятностью 0,1. Найдите вероятность опоздания.

$P = 0{,}3 \cdot 0{,}5 + 0{,}7 \cdot 0{,}1 = 0{,}15 + 0{,}07 = 0{,}22.$

Разобранный пример 5 (неравные урны)

В первой урне 1 белый и 1 чёрный шар, во второй — 1 белый и 9 чёрных. Урну выбирают монетой. Найдите вероятность вынуть белый шар и сравните с тем, что будет, если ссыпать все шары вместе.

1. По формуле: $0{,}5 \cdot \frac{1}{2} + 0{,}5 \cdot \frac{1}{10} = 0{,}25 + 0{,}05 = 0{,}3$.
2. Если ссыпать шары: $\frac{2}{12} \approx 0{,}17$.
3. Ответы разные, потому что при выборе урны монетой каждый шар маленькой урны имеет больше шансов быть вынутым.

Где применяют формулу

Её используют при контроле качества (продукция разных цехов), в медицине (доля положительных анализов среди здоровых и больных), в страховании (риски разных групп клиентов), в прогнозах погоды и при оценке надёжности систем из разнотипных деталей.

Как решать задачи

1. Выясните, от чего зависит интересующее событие, — это и есть гипотезы.
2. Проверьте, что гипотезы несовместны и их вероятности дают в сумме 1.
3. Найдите условные вероятности события при каждой гипотезе.
4. Нарисуйте дерево, перемножьте вдоль путей и сложите.

Обратная задача

Формула полной вероятности отвечает на вопрос «какова вероятность брака?». А если лампочка уже оказалась бракованной, с какого она завода? Это обратная задача, и её решает формула Байеса. Ответ можно прочитать прямо на нашем дереве: доля пути через завод 3 в общей вероятности брака равна $\frac{0{,}006}{0{,}017} \approx 0{,}35$, хотя этот завод выпускает лишь 20 % ламп.

Типичные ошибки

• Выбирать гипотезы, которые пересекаются или не покрывают все случаи.
• Складывать условные вероятности без умножения на вероятности гипотез.
• Путать $P(A \mid H)$ и $P(H \mid A)$.
• Забывать гипотезу «всё остальное» (например, «ученик не подготовился»).
• Получать ответ вне промежутка между наименьшей и наибольшей условной вероятностью и не замечать ошибки.

Что дальше

• Формула Байеса — формула Байеса: переоценка гипотез после наблюдения.