Операции над событиями. Формула сложения вероятностей

Зачем это нужно

Часто нас интересует вероятность не простого, а составного события: «выпадет чётное или больше четырёх», «сдаст и математику, и физику», «не опоздает». Чтобы находить такие вероятности, не перебирая заново все исходы, нужны операции над событиями и формула сложения. Эти правила — основа всей теории вероятностей; они нужны в задачах ОГЭ и ЕГЭ, при оценке надёжности систем, в страховании и медицинской статистике.

События как множества

Будем считать, что опыт имеет множество элементарных исходов $\Omega$. Любое событие — это подмножество исходов, которые ему благоприятствуют. Поэтому операции над событиями — это операции над множествами из 7 класса.

Пример: бросаем кубик, $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Событие $A$ = «выпало чётное» $= \{2, 4, 6\}$, событие $B$ = «выпало больше 4» $= \{5, 6\}$.

Противоположное событие

Противоположное событию $A$ событие $\overline{A}$ («не $A$») состоит из всех исходов, не входящих в $A$:

$P(\overline{A}) = 1 - P(A).$

В примере: $\overline{A} = \{1, 3, 5\}$ — «выпало нечётное».

Объединение и пересечение

• Объединение $A \cup B$ («$A$ или $B$») — событие, наступающее, когда наступает хотя бы одно из событий.
• Пересечение $A \cap B$ («$A$ и $B$») — событие, наступающее, когда наступают оба события.

В примере: $A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$, $A \cap B = \{6\}$.

Несовместные события

События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно: $A \cap B = \varnothing$. Например, «выпало 1» и «выпало 6»; «победа» и «поражение» в одном матче.

Для несовместных событий:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B).$

Разобранный пример 1

В коробке 5 красных, 3 синих и 2 зелёных шара. Найдите вероятность вынуть красный или синий шар.

События несовместны: $P = \frac{5}{10} + \frac{3}{10} = 0{,}8$.

Формула сложения вероятностей

Для любых событий:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$

Вычитаем пересечение, потому что исходы из $A \cap B$ при сложении посчитаны дважды — как в формуле включений и исключений для множеств.

Разобранный пример 2

Бросают кубик. Найдите вероятность того, что выпадет чётное число или число больше 4.

1. $P(A) = \frac{3}{6}$, $P(B) = \frac{2}{6}$, $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ (исход 6).
2. $P(A \cup B) = \frac{3 + 2 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
3. Проверка: $A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$ — 4 исхода из 6.

Разобранный пример 3

Вероятность того, что в случайный день идёт дождь, 0,3, дует сильный ветер — 0,4, и то и другое — 0,15. Какова вероятность, что день будет без дождя и без сильного ветра?

1. Хотя бы одно: $0{,}3 + 0{,}4 - 0{,}15 = 0{,}55$.
2. Ни того, ни другого — противоположное событие: $1 - 0{,}55 = 0{,}45$.

Как решать задачи на сложение вероятностей

1. Сформулируйте события словами и обозначьте буквами: $A$ — «…», $B$ — «…».
2. Переведите вопрос на язык операций: «или» — объединение, «и» — пересечение, «не» — противоположное событие.
3. Проверьте совместность: могут ли события произойти одновременно? Если нет — просто складывайте вероятности; если да — вычитайте вероятность пересечения.
4. Если в вопросе есть слова «хотя бы один» или «не менее», часто проще найти вероятность противоположного события и вычесть её из 1.
5. Проверьте ответ: вероятность не может быть отрицательной или больше 1.

Разобранный пример 4

В классе 30 учеников: 18 занимаются спортом, 12 — музыкой, 6 — и тем и другим. Наугад выбирают ученика. Какова вероятность, что он занимается спортом или музыкой?

1. $P(С) = \frac{18}{30}$, $P(М) = \frac{12}{30}$, $P(С \cap М) = \frac{6}{30}$.
2. $P(С \cup М) = \frac{18 + 12 - 6}{30} = \frac{24}{30} = 0{,}8$.
3. Связь с формулой включений и исключений из темы «Множества»: $|С \cup М| = 24$ ученика.

Сумма вероятностей полной группы

Если события попарно несовместны и в результате опыта обязательно происходит одно из них (например, «победа», «ничья», «поражение»), то сумма их вероятностей равна 1. Это удобная проверка: если в условии даны вероятности всех вариантов, а их сумма не равна 1, в данных ошибка. Например, прогноз «дождь — 40 %, ясно — 50 %, облачно без осадков — 20 %» противоречив: сумма 110 %.

Типичные ошибки

• Складывать вероятности совместных событий без вычитания пересечения: результат может даже превысить 1.
• Путать «или» (объединение) и «и» (пересечение).
• Считать несовместными события, которые могут произойти одновременно («выпало чётное» и «выпало больше 4»).
• Путать несовместные и противоположные события: противоположные всегда несовместны, но не наоборот.
• Забывать про приём «через противоположное событие» для слов «хотя бы один».

Что дальше

• Условная вероятность. Независимые события — условная вероятность и независимые события.
• Формула полной вероятности — формула полной вероятности.
• Формула Байеса — формула Байеса.