Биномиальная формула и комбинаторные коэффициенты

Зачем это нужно

Формулы $(a + b)^2$ и $(a + b)^3$ знает каждый. А как быстро раскрыть $(a + b)^{10}$ или найти коэффициент при $x^7$ в $(2x - 1)^{12}$, не перемножая скобки десять раз? Ответ даёт бином Ньютона. Он связывает алгебру с комбинаторикой: коэффициенты разложения — это числа сочетаний, которые мы уже встречали в формуле Бернулли. Бином используют в приближённых вычислениях, в финансовых расчётах сложных процентов, теории вероятностей, доказательствах неравенств и делимости.

Формула бинома

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \ldots + C_n^n b^n,$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

Почему так. При раскрытии $(a + b)(a + b)\cdots(a + b)$ из каждой из $n$ скобок выбирают либо $a$, либо $b$. Слагаемое $a^{n-k}b^k$ получается столько раз, сколькими способами можно выбрать $k$ скобок, из которых берётся $b$, — это $C_n^k$.

Общий член: $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$ (он стоит на $(k + 1)$-м месте).

Разобранный пример 1

Раскройте $(x + 2)^4$.

$C_4^k = 1, 4, 6, 4, 1$: $x^4 + 4 \cdot 2x^3 + 6 \cdot 4x^2 + 4 \cdot 8x + 16 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$.

Как считать биномиальные коэффициенты

Удобно сокращать факториалы сразу: $C_n^k = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$. Например, $C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 120$. Благодаря симметрии $C_{10}^7 = C_{10}^3 = 120$, поэтому всегда выбирайте меньшее из $k$ и $n - k$.

Комбинаторный смысл. $C_n^k$ — число способов выбрать $k$ предметов из $n$ без учёта порядка. Число возможных комбинаций в лотерее «6 из 45» равно $C_{45}^6 = 8\,145\,060$. Число кратчайших путей по клеточкам из угла прямоугольника $4 \times 3$ в противоположный угол равно $C_7^3 = 35$: из семи шагов нужно выбрать три шага «вверх».

Треугольник Паскаля

Свойства коэффициентов:

• симметрия: $C_n^k = C_n^{n-k}$;
• правило Паскаля: $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$;
• сумма строки: $C_n^0 + C_n^1 + \ldots + C_n^n = 2^n$ (подставьте $a = b = 1$);
• знакочередующаяся сумма: $C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - \ldots = 0$ (подставьте $a = 1$, $b = -1$).

Типичные задачи

Разобранный пример 2

Найдите коэффициент при $x^3$ в разложении $(2x - 1)^5$.

Член с $x^3$: $C_5^2 (2x)^3 (-1)^2 = 10 \cdot 8x^3 = 80x^3$. Коэффициент 80.

Разобранный пример 3

Найдите член разложения $\left(x + \frac{1}{x}\right)^6$, не содержащий $x$.

$T_{k+1} = C_6^k x^{6-k} x^{-k} = C_6^k x^{6-2k}$. Степень равна нулю при $k = 3$: $C_6^3 = 20$.

Разобранный пример 4 (приближённые вычисления)

Вычислите приближённо $1{,}01^{10}$.

$(1 + 0{,}01)^{10} = 1 + 10 \cdot 0{,}01 + 45 \cdot 0{,}0001 + \ldots \approx 1 + 0{,}1 + 0{,}0045 = 1{,}1045$. Точное значение $1{,}10462\ldots$ — трёх членов хватило для четырёх верных знаков.

Разобранный пример 5

Упростите $(1 + \sqrt{2})^4$.

$1 + 4\sqrt{2} + 6 \cdot 2 + 4 \cdot 2\sqrt{2} + 4 = 17 + 12\sqrt{2}$.

Разобранный пример 6

В разложении $(x + 1)^n$ коэффициент третьего члена равен 28. Найдите $n$.

Третий член — $T_3 = C_n^2 x^{n-2}$. Условие $\frac{n(n-1)}{2} = 28$ даёт $n(n - 1) = 56$, $n = 8$.

Наибольший коэффициент

Числа в строке треугольника Паскаля сначала растут, а потом убывают, и наибольшие стоят в середине. При чётном $n$ наибольший коэффициент один — $C_n^{n/2}$, при нечётном их два одинаковых, $C_n^{(n-1)/2} = C_n^{(n+1)/2}$. Например, в $(a + b)^{10}$ наибольший коэффициент $C_{10}^5 = 252$, а в $(a + b)^7$ — два коэффициента по 35. Отношение соседних коэффициентов $\frac{C_n^{k+1}}{C_n^k} = \frac{n - k}{k + 1}$ больше единицы, пока $k < \frac{n - 1}{2}$: так это свойство и доказывают.

Бином и вероятность

Если в схеме Бернулли вероятность успеха $p$, а неудачи $q$, то вероятности получить $0, 1, \ldots, n$ успехов — это в точности слагаемые разложения $(q + p)^n$. Так как $q + p = 1$, их сумма равна $1^n = 1$, как и должно быть для полного набора исходов. Поэтому распределение числа успехов и называют биномиальным.

Бином и делимость

Бином помогает доказывать делимость и находить остатки. Например, $11^n - 1$ делится на 10: $11^n = (10 + 1)^n = 10^n + C_n^1 10^{n-1} + \ldots + C_n^{n-1} \cdot 10 + 1$, и все слагаемые, кроме последней единицы, делятся на 10. Точно так же можно найти остаток от деления $6^{100}$ на 5: $6^{100} = (5 + 1)^{100}$, все члены разложения, кроме последнего, содержат множитель 5, поэтому остаток равен 1. А последние две цифры числа $101^{50}$ находят из разложения $(100 + 1)^{50}$: все члены, кроме $1$, делятся на 100, значит, число оканчивается на 01.

Немного истории

Треугольник с биномиальными коэффициентами знали индийские (Пингала, около III века до н. э.), персидские (Омар Хайям) и китайские (Ян Хуэй, XIII век) математики. Блез Паскаль в 1654 году систематически изучил его свойства. Исаак Ньютон обобщил формулу на дробные и отрицательные показатели — тогда сумма становится бесконечной.

Типичные ошибки

• Забывать знак при отрицательном втором слагаемом: $(a - b)^n$ даёт чередование знаков.
• Путать номер члена: общий член $T_{k+1}$, а не $T_k$.
• Возводить в степень только переменную, а не весь одночлен: $(2x)^3 = 8x^3$, а не $2x^3$.
• Считать, что в разложении $n$ слагаемых, а их $n + 1$.
• Путать коэффициент и биномиальный коэффициент: в $(2x - 1)^5$ коэффициент при $x^3$ равен 80, а $C_5^2 = 10$.

Что дальше

• Комбинаторные тождества и биномиальные суммы — комбинаторные тождества и биномиальные суммы.
• Комбинаторика — комбинаторика в дискретной математике.