Многочлены. Теорема Безу и схема Горнера

Зачем это нужно

Квадратное уравнение решается по формуле. А как решить $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$? Общие формулы для кубических уравнений существуют, но громоздки. На практике поступают иначе: угадывают один корень, делят многочлен на $x - a$ и понижают степень. Чтобы делать это уверенно, нужно уметь делить многочлены, знать теорему Безу и правило поиска рациональных корней. Эти идеи лежат в основе алгебры, вычислительной математики и кодов, исправляющих ошибки.

Многочлены и действия с ними

Многочлен степени $n$ от одной переменной: $P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$, где $a_n \ne 0$. Многочлены складывают, вычитают и умножают, как числа; при умножении степени складываются. Корень многочлена — число $a$, при котором $P(a) = 0$. Многочлен степени $n$ имеет не более $n$ корней. Это следует из теоремы Безу: каждый найденный корень $a$ позволяет выделить множитель $x - a$ и понизить степень на единицу, поэтому корней не может быть больше, чем степень. Например, кубический многочлен может иметь один, два или три действительных корня, но не четыре.

Деление с остатком

Для любых многочленов $P(x)$ и $S(x) \ne 0$ существуют единственные $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток), такие что

$P(x) = S(x) \cdot Q(x) + R(x), \qquad \deg R < \deg S.$

Делят «уголком», как числа: старший член делимого делят на старший член делителя, умножают, вычитают и повторяют.

Разобранный пример 1

Разделите $2x^3 + 3x^2 - 5x + 1$ на $x + 2$.

1. $2x^3 : x = 2x^2$; вычитаем $2x^3 + 4x^2$, остаётся $-x^2 - 5x + 1$.
2. $-x^2 : x = -x$; вычитаем $-x^2 - 2x$, остаётся $-3x + 1$.
3. $-3x : x = -3$; вычитаем $-3x - 6$, остаётся $7$.

Частное $2x^2 - x - 3$, остаток $7$.

Теорема Безу

Остаток от деления многочлена $P(x)$ на $x - a$ равен $P(a)$.

Доказательство. $P(x) = (x - a)Q(x) + r$, где $r$ — число. Подставим $x = a$: $P(a) = 0 \cdot Q(a) + r = r$. ∎

Следствие. $a$ — корень $P(x)$ тогда и только тогда, когда $P(x)$ делится на $x - a$ без остатка.

Проверим пример 1: $P(-2) = -16 + 12 + 10 + 1 = 7$ — совпало с остатком.

Разобранный пример 2

Найдите остаток от деления $x^{100} - 3x + 5$ на $x - 1$. Без деления: $P(1) = 1 - 3 + 5 = 3$.

Разобранный пример 3

При каком $a$ многочлен $x^3 + ax^2 - 4$ делится на $x - 2$? $P(2) = 8 + 4a - 4 = 0$, $a = -1$.

Рациональные корни

Теорема. Если несократимая дробь $\frac{p}{q}$ — корень многочлена с целыми коэффициентами, то $p$ — делитель свободного члена $a_0$, а $q$ — делитель старшего коэффициента $a_n$. В частности, целые корни ищут среди делителей свободного члена.

Разобранный пример 4

Решите $2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 = 0$.

1. Кандидаты: $\pm 1, \pm 2, \pm\frac{1}{2}$.
2. $P(2) = 16 - 12 - 6 + 2 = 0$ — корень найден.
3. Делим на $x - 2$: $2x^2 + x - 1 = (2x - 1)(x + 1)$.
4. Ответ: $x = 2$, $x = \frac{1}{2}$, $x = -1$.

Формулы Виета для кубического уравнения

Если $x_1, x_2, x_3$ — корни $x^3 + bx^2 + cx + d = 0$, то

$x_1 + x_2 + x_3 = -b, \qquad x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = c, \qquad x_1x_2x_3 = -d.$

Для $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ с корнями 1, 2, 3: сумма 6, сумма попарных произведений 11, произведение 6 — всё сходится.

Остаток от деления на многочлен второй степени

Остаток от деления на квадратный трёхчлен имеет степень меньше двух, то есть это $rx + s$. Если трёхчлен раскладывается на $(x - a)(x - b)$, коэффициенты находят подстановкой корней, не выполняя деления.

Разобранный пример 5

Найдите остаток от деления $x^5$ на $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

1. $x^5 = (x - 1)(x - 2)Q(x) + rx + s$.
2. При $x = 1$: $1 = r + s$. При $x = 2$: $32 = 2r + s$.
3. $r = 31$, $s = -30$. Остаток: $31x - 30$.

Метод неопределённых коэффициентов

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях. Это позволяет находить неизвестные параметры. Например, чтобы $x^3 + ax + b$ делился на $x^2 - 1$, запишем $x^3 + ax + b = (x^2 - 1)(x + c) = x^3 + cx^2 - x - c$. Сравнивая коэффициенты, получаем $c = 0$, $a = -1$, $b = 0$.

Немного истории

Этьен Безу — французский математик XVIII века, автор популярных учебников для морских офицеров. Формулы для корней уравнений третьей и четвёртой степени нашли итальянцы Тарталья, Кардано и Феррари в XVI веке. А в 1824 году Нильс Абель доказал, что для уравнений пятой степени и выше общей формулы в радикалах не существует. Поэтому угадывание корней и численные методы так важны.

Типичные ошибки

• Пропускать нулевые коэффициенты при делении: $x^3 - 1$ нужно записать как $x^3 + 0x^2 + 0x - 1$.
• Путать знак: остаток от деления на $x + 2$ равен $P(-2)$, а не $P(2)$.
• Искать рациональные корни среди делителей старшего коэффициента вместо свободного члена.
• Забывать про знак в формулах Виета для кубического уравнения.
• Останавливаться, найдя один корень: после деления нужно решить оставшееся уравнение.

Что дальше

• Теорема Безу и схема Горнера — схема Горнера: быстрое деление на $x - a$.
• Биномиальная формула и комбинаторные коэффициенты — бином Ньютона.