Первообразная

Зачем это нужно

Дифференцирование по координате тела находит его скорость. А как решить обратную задачу: зная скорость в каждый момент, найти, где окажется тело? Зная, с какой скоростью вода наливается в бассейн, найти, сколько её набралось? Зная скорость роста населения, предсказать его численность? Для этого нужна операция, обратная дифференцированию, — нахождение первообразной. Она приведёт нас к интегралу, с помощью которого вычисляют площади, объёмы, работу, массу.

Определение

Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка

$F'(x) = f(x).$

Например, $x^2$ — первообразная для $2x$, потому что $(x^2)' = 2x$. Но и $x^2 + 5$, и $x^2 - 3$ — тоже первообразные: производная константы равна нулю.

Основное свойство первообразной

Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, то любая первообразная имеет вид

$F(x) + C,$

где $C$ — произвольная постоянная. Это общий вид первообразных. Геометрически графики всех первообразных получаются друг из друга сдвигом вдоль оси $Oy$, и при каждом $x$ их касательные параллельны. Совокупность всех первообразных называют неопределённым интегралом и обозначают $\int f(x)\,dx = F(x) + C$.

Разобранный пример 1

Найдите общий вид первообразных для $f(x) = 3x^2$ и проверьте ответ.

$F(x) = x^3 + C$. Проверка: $(x^3 + C)' = 3x^2$. Проверка дифференцированием — главный способ контроля!

Таблица первообразных

Каждую строку можно проверить дифференцированием. Ко всем ответам добавляется $+C$. Таблицу не нужно зубрить отдельно: это таблица производных, прочитанная справа налево. Знак модуля в $\ln|x|$ нужен, чтобы формула работала и при отрицательных $x$.

Правила нахождения первообразных

1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.
2. Постоянный множитель выносится: для $kf(x)$ первообразная $kF(x)$.
3. Для $f(kx + b)$ первообразная $\frac{1}{k}F(kx + b)$.

Третье правило — «обратное» правило сложной функции: при дифференцировании появился бы множитель $k$, поэтому заранее делим на него.

Разобранный пример 2

Найдите первообразную $f(x) = 4x^3 - 2x + 5$.

$F(x) = x^4 - x^2 + 5x + C$.

Разобранный пример 3

Найдите первообразные для $(2x + 1)^3$, $\cos 3x$ и $e^{2x}$.

1. $\frac{1}{2} \cdot \frac{(2x + 1)^4}{4} = \frac{(2x + 1)^4}{8}$.
2. $\frac{\sin 3x}{3}$.
3. $\frac{e^{2x}}{2}$. Ко всем добавляем $C$.

Сначала преобразуй — потом интегрируй

Правила для произведения и частного, как у производных, здесь нет. Поэтому функцию часто сначала упрощают до суммы табличных:

• дробь делят почленно: $\frac{x^2 + 1}{x} = x + \frac{1}{x}$, первообразная $\frac{x^2}{2} + \ln|x| + C$;
• скобки раскрывают: $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$ (или пользуются третьим правилом);
• корни записывают степенями: $\sqrt{x} = x^{1/2}$, первообразная $\frac{2}{3}x^{3/2}$;
• тригонометрию понижают: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$, первообразная $\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$.

Бывает, что первообразная существует, но не выражается через элементарные функции: так обстоит дело с $e^{-x^2}$, важнейшей функцией теории вероятностей. Её значения находят по таблицам или численно.

Первообразная, проходящая через точку

Чтобы выбрать одну первообразную из семейства, нужно дополнительное условие — значение в точке.

Разобранный пример 4

Найдите первообразную $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{3}{x}$ на промежутке $x > 0$, $x < \frac{\pi}{2}$.

По таблице: $F(x) = \operatorname{tg} x - 3\ln x + C$. Проверка: $(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, $(3\ln x)' = \frac{3}{x}$.

Разобранный пример 5

Найдите первообразную для $f(x) = 2x$, график которой проходит через точку $(1; 4)$.

$F(x) = x^2 + C$; $1 + C = 4$, $C = 3$. Ответ: $F(x) = x^2 + 3$.

Разобранный пример 6

Скорость точки $v(t) = 3t^2 + 2$ (м/с), в момент $t = 0$ координата $x = 1$ м. Найдите закон движения.

$x(t) = t^3 + 2t + C$, $x(0) = C = 1$. Ответ: $x(t) = t^3 + 2t + 1$. Так по скорости восстанавливают координату, а по ускорению — скорость. Например, из $a = g$ получаем $v = v_0 + gt$ и $x = x_0 + v_0 t + \frac{gt^2}{2}$ — знакомые формулы равноускоренного движения.

Первообразная в физике

Если известна скорость изменения величины, первообразная восстанавливает саму величину: по силе тока $I(t)$ — прошедший заряд, по мощности $P(t)$ — работу, по скорости притока воды — её объём. Постоянная $C$ отражает начальное значение: сколько воды было в баке до начала наблюдения.

Немного истории

То, что интегрирование обратно дифференцированию, независимо поняли Ньютон и Лейбниц. Знак $\int$ ввёл Лейбниц в 1675 году — это вытянутая буква S от латинского summa (сумма). Название «интеграл» (от латинского integer — целый) предложил Иоганн Бернулли.

Типичные ошибки

• Забывать $+C$ в общем виде первообразной.
• Применять формулу $\frac{x^{n+1}}{n + 1}$ при $n = -1$: для $\frac{1}{x}$ первообразная — логарифм.
• Ошибаться в знаке: первообразная $\sin x$ — это $-\cos x$.
• Для $f(kx + b)$ умножать на $k$ вместо деления.

Что дальше

• Определённый интеграл. Формула Ньютона–Лейбница — определённый интеграл и площади.
• Неопределённый интеграл. Основные методы — методы интегрирования в курсе анализа.