Производная сложной функции и элементарных функций

Зачем это нужно

Правила предыдущей темы позволяют дифференцировать многочлены и дроби. Но в природе и технике постоянно встречаются функции вида $\sin \omega t$ (колебания), $e^{-kt}$ (остывание, радиоактивный распад, разряд конденсатора), $\ln x$ (громкость в децибелах, кислотность pH), $\sqrt{1 - x^2}$ (окружность). Чтобы работать с ними, нужны производные элементарных функций и правило дифференцирования сложной функции. После этой темы вы сможете найти производную практически любой функции, записанной формулой.

Сложная функция

Функция $y = f(g(x))$ называется сложной (композицией): сначала вычисляется внутренняя функция $u = g(x)$ , затем внешняя $y = f(u)$ . Например, в $y = (3x - 1)^5$ внутренняя функция $u = 3x - 1$ , внешняя — $u^5$ ; в $y = \sin 2x$ внутренняя $2x$ , внешняя $\sin u$ .

Правило дифференцирования сложной функции

$\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x).$

Словами: производная внешней функции (от неизменного внутреннего аргумента), умноженная на производную внутренней. Это «цепное правило»: скорости изменения перемножаются. Если $u$ меняется втрое быстрее $x$ , а $y$ — вдвое быстрее $u$ , то $y$ меняется в 6 раз быстрее $x$ .

Разобранный пример 1

Найдите производную $y = (3x - 1)^5$ .

$y' = 5(3x - 1)^4 \cdot 3 = 15(3x - 1)^4$ . Раскрывать скобки в пятой степени не нужно! Без цепного правила пришлось бы возводить двучлен в пятую степень и дифференцировать шесть слагаемых.

Разобранный пример 2

Найдите производную $y = \sqrt{1 - x^2}$ .

$y' = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ .

Многослойные функции

Если «слоёв» несколько, правило применяют последовательно, снаружи внутрь. Удобный алгоритм:

определить порядок вычисления функции (что считается последним — то внешнее);
продифференцировать внешний слой, оставив внутренность без изменений;
умножить на производную следующего слоя и так далее.

Например, $y = \sin^3 2x$ : внешний слой — куб, затем синус, затем $2x$ . Получаем $y' = 3\sin^2 2x \cdot \cos 2x \cdot 2 = 6\sin^2 2x \cos 2x$ .

Производные тригонометрических функций

$(\sin x)' = \cos x, \qquad (\cos x)' = -\sin x,$

$(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}, \qquad (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}.$

Выведем первую. $\sin(x + \Delta x) - \sin x = 2\cos\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right)\sin\frac{\Delta x}{2}$ . Делим на $\Delta x$ : $\cos\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right) \cdot \frac{\sin(\Delta x/2)}{\Delta x/2} \to \cos x \cdot 1$ по первому замечательному пределу. Производные тангенса и котангенса получаются по правилу частного.

Разобранный пример 3

Найдите производные $y = \sin 2x$ и $y = \cos^2 x$ .

$(\sin 2x)' = \cos 2x \cdot 2 = 2\cos 2x$ .
$(\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -\sin 2x$ .

Показательная функция и число $e$

У каждой показательной функции $a^x$ касательная в точке $(0; 1)$ имеет свой наклон: у $2^x$ меньше единицы, у $3^x$ больше. Существует единственное основание, при котором наклон равен ровно 1, — это число $e \approx 2{,}718$ . Для него производная совпадает с самой функцией:

$(e^x)' = e^x, \qquad (a^x)' = a^x \ln a.$

Функция $e^x$ — единственная (с точностью до множителя), равная своей производной. Поэтому она описывает все процессы, где скорость изменения пропорциональна самой величине: рост вклада с непрерывными процентами, размножение бактерий, распад.

Графики 2ˣ, eˣ и 3ˣ с касательными в точке (0; 1): наклоны ln 2 ≈ 0,69, ровно 1 и ln 3 ≈ 1,10

Разобранный пример 4

Вклад растёт по закону $S(t) = 1000e^{0{,}05t}$ (рублей, $t$ — годы). С какой скоростью он растёт в момент $t = 0$ ?

$S'(t) = 1000 \cdot 0{,}05 \cdot e^{0{,}05t}$ ; при $t = 0$ — 50 рублей в год. Скорость роста всегда равна 5 % от текущей суммы.

Логарифмическая функция

$(\ln x)' = \frac{1}{x}, \qquad (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}.$

Разобранный пример 5

Найдите производные $y = e^{x^2}$ и $y = \ln(x^2 + 1)$ .

$(e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot 2x$ .
$(\ln(x^2 + 1))' = \frac{2x}{x^2 + 1}$ .

Разобранный пример 6

Найдите производную $y = x e^x$ и значение производной $y = 2^x$ в нуле.

По правилу произведения: $e^x + xe^x = e^x(1 + x)$ .
$(2^x)' = 2^x \ln 2$ ; в нуле — $\ln 2 \approx 0{,}693$ .

Сводная таблица

$f(x)$	$f'(x)$	$f(x)$	$f'(x)$
$x^n$	$nx^{n-1}$	$e^x$	$e^x$
$\sin x$	$\cos x$	$a^x$	$a^x \ln a$
$\cos x$	$-\sin x$	$\ln x$	$\frac{1}{x}$
$\operatorname{tg} x$	$\frac{1}{\cos^2 x}$	$\log_a x$	$\frac{1}{x \ln a}$

Для сложного аргумента каждая формула умножается на производную внутренней функции: $(\sin kx)' = k\cos kx$ , $(e^{kx})' = ke^{kx}$ , $\big(\ln(kx + b)\big)' = \frac{k}{kx + b}$ .

Где это нужно

Колебания: координата $x = A\sin \omega t$ , скорость $v = x' = A\omega\cos \omega t$ , ускорение $a = -A\omega^2 \sin \omega t$ . Отсюда видно, что ускорение пропорционально смещению с обратным знаком — признак гармонических колебаний.
Радиоактивный распад: $N = N_0 e^{-\lambda t}$ , скорость распада $N' = -\lambda N$ пропорциональна числу оставшихся ядер.
Остывание чая: разность температур с комнатой убывает как $e^{-kt}$ , и чем горячее чай, тем быстрее он остывает.

Немного истории

Цепное правило в обозначениях Лейбница выглядит как сокращение дробей: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ — именно поэтому его обозначения так удобны. Число $e$ впервые возникло у Якоба Бернулли (1683) в задаче о непрерывном начислении процентов, а букву $e$ ввёл Леонард Эйлер.

Типичные ошибки

Забывать умножить на производную внутренней функции: $(\sin 2x)' = \cos 2x$ — неверно.
Путать знак: $(\cos x)' = -\sin x$ .
Писать $(a^x)' = x a^{x-1}$ , применяя формулу степенной функции к показательной.
Применять $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ к $\ln(3x)$ без учёта внутренней функции (на самом деле ответ тот же $\frac{1}{x}$ , но по правильной причине: $\frac{3}{3x}$ ).

Что дальше

Применение производной к исследованию функций — исследование функций с помощью производной.
Первообразная — первообразная, обратная операция.
Механические колебания. Гармонический закон — скорость и ускорение при гармонических колебаниях.