Определённый интеграл. Формула Ньютона–Лейбница

Зачем это нужно

Площадь прямоугольника и треугольника вычислить легко. А какова площадь под параболой, под синусоидой, площадь крыла самолёта? Какой путь прошёл автомобиль, если его скорость всё время менялась? Сколько работы совершила пружина? Все эти задачи сводятся к одной идее: разбить фигуру или процесс на множество мелких частей, сложить их и перейти к пределу. Результат — определённый интеграл. А формула Ньютона–Лейбница позволяет вычислять его с помощью первообразной, не складывая миллионы слагаемых. Это одна из самых важных формул всей математики.

Криволинейная трапеция

Криволинейной трапецией называют фигуру, ограниченную графиком непрерывной неотрицательной функции $y = f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x = a$ и $x = b$. Чтобы найти её площадь, разобьём отрезок $[a; b]$ на $n$ равных частей шириной $\Delta x$ и заменим каждую полоску прямоугольником. Площадь фигуры приближённо равна интегральной сумме

$S_n = f(x_1)\Delta x + f(x_2)\Delta x + \ldots + f(x_n)\Delta x.$

Чем мельче разбиение, тем точнее приближение. На рисунке при 4 прямоугольниках ошибка больше единицы, а при 16 — уже около 0,25. Компьютеры так и считают интегралы, которые не берутся по формулам: разбивают отрезок на миллионы частей.

Определённый интеграл

Предел интегральных сумм при $\Delta x \to 0$ называют определённым интегралом функции $f$ от $a$ до $b$:

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n.$

Числа $a$ и $b$ — пределы интегрирования, $f(x)$ — подынтегральная функция. Для неотрицательной функции интеграл равен площади криволинейной трапеции.

Формула Ньютона–Лейбница

Если $F$ — любая первообразная функции $f$ на $[a; b]$, то

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).$

Разность записывают так: $F(x)\Big|_a^b$. Постоянную $C$ можно не писать — она сокращается. Эта формула связывает две, казалось бы, разные задачи: о касательной (производная) и о площади (интеграл).

Почему это верно? Обозначим $S(x)$ площадь под графиком от $a$ до $x$. Если сдвинуть правую границу на малое $\Delta x$, площадь вырастет на узкую полоску, почти прямоугольник высотой $f(x)$: $\Delta S \approx f(x)\Delta x$. Значит, $S'(x) = f(x)$, то есть $S$ — первообразная для $f$. При этом $S(a) = 0$, поэтому $S(b) = F(b) - F(a)$ для любой первообразной $F$.

Разобранный пример 1

Вычислите $\int_0^2 x^2\,dx$.

$\frac{x^3}{3}\Big|_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \approx 2{,}67$ — площадь под параболой на рисунке.

Разобранный пример 2

Найдите площадь под одной «аркой» синусоиды: $y = \sin x$, $0 \le x \le \pi$.

$\int_0^\pi \sin x\,dx = -\cos x\Big|_0^\pi = -(-1) - (-1) = 2$. Ровно 2 — удивительно круглое число!

Разобранный пример 3

Вычислите $\int_1^e \frac{dx}{x}$.

$\ln x\Big|_1^e = 1 - 0 = 1$.

Свойства интеграла

1. $\int_a^b (f + g)\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_a^b g\,dx$; $\int_a^b kf\,dx = k\int_a^b f\,dx$.
2. $\int_a^b f\,dx = \int_a^c f\,dx + \int_c^b f\,dx$ — площади складываются.
3. Если $f < 0$ на отрезке, интеграл отрицателен, а площадь равна его модулю.

Разобранный пример 4

Вычислите $\int_{-1}^{1} x^3\,dx$ и площадь фигуры между графиком $y = x^3$ и осью $Ox$ на этом отрезке.

Интеграл $\frac{x^4}{4}\Big|_{-1}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$: части под осью и над осью взаимно уничтожились. Площадь же равна сумме модулей: $2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.

Площадь фигуры между графиками

Если на $[a; b]$ выполнено $g(x) \le f(x)$, площадь между графиками:

$S = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx.$

Алгоритм нахождения площади: 1) построить эскиз графиков; 2) найти точки пересечения — они дают пределы интегрирования; 3) определить, какой график выше; 4) проинтегрировать разность «верхней» и «нижней» функций.

Разобранный пример 5

Найдите площадь фигуры между $y = x$ и $y = x^2$.

Графики пересекаются при $x = 0$ и $x = 1$, между ними $x \ge x^2$. $S = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.

Применения интеграла

• Объём тела вращения: если график $y = f(x)$ на $[a; b]$ вращать вокруг оси $Ox$, $V = \pi\int_a^b f^2(x)\,dx$. Например, для $y = \sqrt{x}$ на $[0; 4]$: $V = \pi\int_0^4 x\,dx = 8\pi \approx 25{,}1$.
• Путь по скорости: $s = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$.
• Работа переменной силы: $A = \int_{x_1}^{x_2} F(x)\,dx$. Растяжение пружины ($F = kx$) на величину $x$ требует работы $\int_0^x kx\,dx = \frac{kx^2}{2}$ — знакомая формула энергии пружины.

Разобранный пример 6

Скорость тела $v(t) = 3t^2$ м/с. Какой путь оно прошло за первые 2 секунды?

$s = \int_0^2 3t^2\,dt = t^3\Big|_0^2 = 8$ м.

Немного истории

Архимед нашёл площадь параболического сегмента, по сути вычислив интеграл, ещё в III веке до н. э. В XVII веке Кавальери, Ферма и Барроу (учитель Ньютона) научились находить площади под степенными кривыми. Связь интеграла с первообразной открыли Ньютон и Лейбниц, а строгое определение через интегральные суммы дал Бернхард Риман (1854).

Типичные ошибки

• Вычитать в обратном порядке: $F(a) - F(b)$ вместо $F(b) - F(a)$.
• Считать площадь фигуры под осью $Ox$ отрицательной.
• Находя площадь между графиками, не найти точки пересечения или вычесть «верхнюю» функцию из «нижней».
• Путать определённый интеграл (число) с неопределённым (семейство функций).

Что дальше

• Площади и объёмы через интеграл — площади и объёмы через интеграл.
• Определённый интеграл Римана — интеграл Римана в курсе анализа.