Геометрический и физический смысл производной

Зачем это нужно

Производная — не просто формальная операция над формулами. У неё два ясных смысла. Геометрический: производная задаёт наклон касательной к графику, и через неё мы строим касательные, находим углы между кривыми, приближённо вычисляем значения функций. Физический: производная — мгновенная скорость изменения величины; так находят скорость и ускорение тела, силу тока, мощность. Задачи на касательную и на движение — обязательная часть ЕГЭ.

Геометрический смысл производной

Значение производной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$:

$k = f'(x_0) = \operatorname{tg} \alpha,$

где $\alpha$ — угол между касательной и положительным направлением оси $Ox$.

• Если $f'(x_0) > 0$, угол острый, функция в этой точке растёт.
• Если $f'(x_0) < 0$, угол тупой, функция убывает.
• Если $f'(x_0) = 0$, касательная горизонтальна — это возможная вершина или впадина графика.

Уравнение касательной

Касательная — прямая с угловым коэффициентом $f'(x_0)$, проходящая через точку $(x_0;\ f(x_0))$:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0).$

Алгоритм: 1) найти $f(x_0)$; 2) найти $f'(x)$ и $f'(x_0)$; 3) подставить в формулу и упростить.

Разобранный пример 1

Составьте уравнение касательной к $y = x^2$ в точке $x_0 = 1$.

$f(1) = 1$, $f'(x) = 2x$, $f'(1) = 2$. Касательная: $y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1$.

Разобранный пример 2

В какой точке касательная к параболе $y = x^2$ параллельна прямой $y = 4x + 1$?

Параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты: $2x_0 = 4$, $x_0 = 2$. Точка касания $(2; 4)$, касательная $y = 4x - 4$.

Разобранный пример 3

Под каким углом график $y = \frac{x^3}{3}$ пересекает прямую $x = 1$ (угол касательной с осью $Ox$)?

$f'(1) = 1^2 = 1 = \operatorname{tg}\alpha$, значит $\alpha = 45^\circ$.

Разобранный пример 4

Проведите касательные к параболе $y = x^2$ через точку $(0; -1)$, не лежащую на графике.

1. Касательная в неизвестной точке $x_0$: $y = x_0^2 + 2x_0(x - x_0) = 2x_0 x - x_0^2$.
2. Она проходит через $(0; -1)$: $-1 = -x_0^2$, $x_0 = \pm 1$.
3. Две касательные: $y = 2x - 1$ и $y = -2x - 1$.

Главная идея: если точка не на графике, сначала пишем касательную в неизвестной точке, а потом подставляем условие.

Чтение графиков в задачах ЕГЭ

Часто дан график функции или график производной, и нужно сделать выводы:

• по графику $f$: значение $f'(x_0)$ — это наклон касательной, его находят по двум точкам касательной с целыми координатами: $k = \frac{\Delta y}{\Delta x}$;
• по графику $f'$: где $f' > 0$ (график выше оси), там $f$ возрастает; где $f' < 0$ — убывает; нули $f'$, в которых меняется знак, — точки максимума или минимума $f$;
• касательная параллельна прямой $y = kx + b$ там, где $f'(x) = k$.

Приближённые вычисления

Вблизи точки касания график почти совпадает с касательной, поэтому

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x.$

Разобранный пример 5

Вычислите приближённо $\sqrt{4{,}1}$.

$f(x) = \sqrt{x}$, $x_0 = 4$, $\Delta x = 0{,}1$, $f'(4) = \frac{1}{4}$. $\sqrt{4{,}1} \approx 2 + \frac{0{,}1}{4} = 2{,}025$. Точное значение 2,0248… — ошибка меньше тысячной.

Физический смысл производной

Если $x(t)$ — координата тела, то его мгновенная скорость — производная координаты по времени, а ускорение — производная скорости:

$v(t) = x'(t), \qquad a(t) = v'(t).$

Знак скорости показывает направление движения: при $v > 0$ тело движется в положительном направлении оси, при $v < 0$ — в обратном. Если скорость и ускорение одного знака, тело разгоняется, если разных — тормозит.

Вообще производная любой величины по времени — это скорость её изменения: сила тока $I = q'(t)$, мощность $P = A'(t)$, скорость химической реакции — производная концентрации.

Разобранный пример 6

Точка движется по закону $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ (м). Найдите скорость и ускорение при $t = 2$ с. В какие моменты точка останавливается?

1. $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$, $v(2) = 12 - 24 + 9 = -3$ м/с (движется назад).
2. $a(t) = 6t - 12$, $a(2) = 0$.
3. Остановки: $3t^2 - 12t + 9 = 0$, $t = 1$ с и $t = 3$ с.

Разобранный пример 7

Заряд, прошедший через проводник, меняется по закону $q(t) = 2t^2 + t$ (Кл). Найдите силу тока при $t = 3$ с.

$I = q'(t) = 4t + 1$, $I(3) = 13$ А.

Немного истории

Задача о касательной волновала ещё древних греков: Аполлоний строил касательные к коническим сечениям. В XVII веке Пьер Ферма придумал способ находить касательные и экстремумы, по сути вычисляя производную. Ньютон же исходил из механики: для него производная была скоростью точки, «текущей» по кривой.

Типичные ошибки

• Подставлять $x_0$ в производную до того, как она найдена в общем виде, — и терять слагаемые.
• Путать $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в уравнении касательной.
• Считать, что касательная может иметь с графиком только одну общую точку (это верно лишь для окружности и параболы).
• Забывать, что угол $\alpha$ отсчитывается от положительного направления оси $Ox$ и тупому углу соответствует отрицательная производная.

Что дальше

• Применение производной к исследованию функций — исследование функций с помощью производной.