Производная. Правила дифференцирования

Зачем это нужно

Спидометр показывает скорость в данный момент, а не среднюю за поездку. Экономист говорит о скорости роста цен, биолог — о скорости размножения бактерий, инженер — о скорости нагрева. Все эти «мгновенные скорости изменения» — производные. Производная позволяет находить касательные к кривым, наибольшие и наименьшие значения (самая дешёвая упаковка, самый быстрый путь), описывать движение. Это центральное понятие математического анализа, открытое Ньютоном и Лейбницем.

Приращение и средняя скорость изменения

Пусть аргумент изменился от $x_0$ до $x_0 + \Delta x$. Число $\Delta x$ называют приращением аргумента, а $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ — приращением функции. Отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ — средняя скорость изменения функции на отрезке. Геометрически это угловой коэффициент секущей, проходящей через две точки графика.

Разобранный пример 1

Тело движется по закону $s(t) = t^2$ (м). Найдите среднюю скорость на отрезке $[2; 2{,}1]$.

$v_{ср} = \frac{2{,}1^2 - 2^2}{0{,}1} = \frac{0{,}41}{0{,}1} = 4{,}1$ м/с. На отрезке $[2; 2{,}01]$ получится 4,01, на $[2; 2{,}001]$ — 4,001. Средние скорости приближаются к 4 — это и есть мгновенная скорость в момент $t = 2$.

Определение производной

Производной функции $f$ в точке $x_0$ называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.$

Функцию, имеющую производную в точке, называют дифференцируемой в ней, а нахождение производной — дифференцированием. Геометрически секущие при $\Delta x \to 0$ поворачиваются и приближаются к касательной, а $f'(x_0)$ — её угловой коэффициент.

Разобранный пример 2

Найдите по определению производную $f(x) = x^2$.

1. $\Delta f = (x + \Delta x)^2 - x^2 = 2x\Delta x + (\Delta x)^2$.
2. $\frac{\Delta f}{\Delta x} = 2x + \Delta x \to 2x$.

Итак, $(x^2)' = 2x$; в точке 1 производная равна 2 — как на рисунке.

Производная как функция

Найдя производную в каждой точке, получаем новую функцию $f'(x)$. Её значение показывает, насколько быстро и в какую сторону меняется $f$: если $f'(x) > 0$, функция растёт, если $f'(x) < 0$ — убывает, а чем больше $|f'(x)|$, тем круче график. Подробно это используем в теме о применении производной.

Алгоритм нахождения производной по определению:

1. записать $f(x + \Delta x)$;
2. найти приращение $\Delta f$ и упростить;
3. разделить на $\Delta x$;
4. перейти к пределу при $\Delta x \to 0$.

Таблица основных производных

Две последние строки — частные случаи степенной формулы: $\sqrt{x} = x^{1/2}$, $\frac{1}{x} = x^{-1}$.

Правила дифференцирования

Если $u$ и $v$ дифференцируемы, то:

1. $(u + v)' = u' + v'$;
2. $(Cu)' = Cu'$;
3. $(uv)' = u'v + uv'$ — производная произведения;
4. $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ — производная частного.

Обратите внимание: производная произведения — не произведение производных.

Откуда правило произведения? Представим $uv$ как площадь прямоугольника со сторонами $u$ и $v$. Когда стороны получают приращения $\Delta u$ и $\Delta v$, площадь увеличивается на две полоски $\Delta u \cdot v$ и $u \cdot \Delta v$ и крошечный уголок $\Delta u \Delta v$. Разделив на $\Delta x$ и перейдя к пределу, уголок исчезает, и остаётся $u'v + uv'$.

Разобранный пример 3

Найдите производную $f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$.

$f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 5$.

Разобранный пример 4

Найдите производную $f(x) = (x^2 + 1)(x - 3)$.

$f'(x) = 2x(x - 3) + (x^2 + 1) \cdot 1 = 3x^2 - 6x + 1$. Проверка: раскрыв скобки, $x^3 - 3x^2 + x - 3$, производная та же.

Разобранный пример 5

Найдите производную $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$.

$f'(x) = \frac{2(x - 1) - (2x + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{-3}{(x - 1)^2}$.

Разобранный пример 6

Найдите $f'(4)$ для $f(x) = \sqrt{x}$ и производную $g(x) = \frac{1}{x^3}$.

1. $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = 0{,}25$.
2. $g = x^{-3}$, $g' = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.

Дифференцируемость и непрерывность

Если функция дифференцируема в точке, она непрерывна в ней. Обратное неверно: $y = |x|$ непрерывна в нуле, но производной там нет — слева угловой коэффициент $-1$, справа $+1$, график имеет излом, и единственной касательной не существует.

Где встречается производная

• Физика: скорость — производная координаты, ускорение — производная скорости, сила тока — производная заряда по времени.
• Экономика: предельные издержки — производная стоимости по объёму выпуска.
• Химия и биология: скорость реакции, скорость роста популяции.

Немного истории

Исаак Ньютон (1665–1666) пришёл к производной из механики, называя её «флюксией» — скоростью «текущей» величины. Готфрид Лейбниц (1675) — из задачи о касательных; ему мы обязаны обозначениями $dx$, $\frac{dy}{dx}$ и словом «дифференциал». Обозначение со штрихом $f'(x)$ ввёл Жозеф Луи Лагранж.

Типичные ошибки

• Считать, что $(uv)' = u'v'$ или $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'}{v'}$.
• Забывать, что производная постоянной равна нулю: $(x^2 + 5)' = 2x$, а не $2x + 5$.
• Ошибаться в знаке числителя в производной частного: сначала $u'v$, потом $-uv'$.
• Переписывать $\frac{1}{x^3}$ как $x^3$ вместо $x^{-3}$.

Что дальше

• Производная сложной функции и элементарных функций — производная сложной функции и элементарных функций.
• Геометрический и физический смысл производной — касательная и физический смысл производной.
• Электромагнитная индукция. Самоиндукция — ЭДС индукции как производная магнитного потока.