Применение производной к исследованию функций

Зачем это нужно

Какой формы должна быть консервная банка, чтобы на неё ушло меньше всего жести? При какой цене прибыль магазина наибольшая? Под каким углом бросить мяч, чтобы он улетел дальше всего? Где у функции вершины и впадины, где она растёт и где убывает? Производная отвечает на все эти вопросы. Исследование функций с её помощью — главное практическое применение дифференциального исчисления и обязательная часть профильного ЕГЭ.

Признак монотонности

Если на промежутке $f'(x) > 0$, то функция на нём возрастает; если $f'(x) < 0$ — убывает. Наглядно: положительный наклон касательной — график идёт вверх. Если $f'(x) = 0$ на всём промежутке, функция постоянна.

Экстремумы

Точка $x_0$ — точка максимума, если вблизи неё $f(x) \le f(x_0)$, и точка минимума, если $f(x) \ge f(x_0)$. Вместе их называют точками экстремума, а значения функции в них — экстремумами.

Необходимое условие (теорема Ферма). Если $x_0$ — точка экстремума и в ней существует производная, то $f'(x_0) = 0$. Точки, где производная равна нулю или не существует, называют критическими.

Достаточное условие. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус — это максимум, с минуса на плюс — минимум. Если знак не меняется, экстремума нет: у $y = x^3$ производная $3x^2$ обращается в ноль в точке 0, но функция там просто продолжает расти.

Схема исследования

1. Найти область определения.
2. Найти $f'(x)$ и критические точки.
3. Расставить знаки $f'$ на интервалах (метод интервалов).
4. Определить промежутки монотонности и экстремумы.
5. Для графика добавить нули функции, поведение на концах, несколько опорных точек.

Разобранный пример 1

Исследуйте $f(x) = x^3 - 3x$.

1. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$, критические точки $\pm 1$.
2. Знаки: $+$ на $(-\infty; -1)$, $-$ на $(-1; 1)$, $+$ на $(1; +\infty)$.
3. Возрастает на $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$, убывает на $[-1; 1]$.
4. $x = -1$ — максимум, $f(-1) = 2$; $x = 1$ — минимум, $f(1) = -2$.

Разобранный пример 2

Найдите экстремум $f(x) = x e^{-x}$.

$f'(x) = e^{-x}(1 - x)$; знак меняется с плюса на минус в точке 1 — максимум $f(1) = \frac{1}{e} \approx 0{,}37$.

Наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Непрерывная на отрезке функция достигает на нём наибольшего и наименьшего значений — либо в критических точках внутри отрезка, либо на концах.

Алгоритм: найти критические точки, принадлежащие отрезку; вычислить значения в них и на концах; выбрать наибольшее и наименьшее.

Разобранный пример 3

Найдите наибольшее и наименьшее значения $f(x) = x^3 - 3x$ на $[0; 2]$.

Внутри отрезка критическая точка $x = 1$. Значения: $f(0) = 0$, $f(1) = -2$, $f(2) = 2$. Наибольшее 2, наименьшее $-2$.

Задачи на оптимизацию

Схема: ввести переменную, выразить через неё оптимизируемую величину, найти её наибольшее или наименьшее значение на допустимом промежутке.

Разобранный пример 4

Из квадратного листа жести $30 \times 30$ см вырезают по углам одинаковые квадраты и загибают края, получая открытую коробку. При какой стороне вырезов объём наибольший?

1. Сторона выреза $x$, объём $V = x(30 - 2x)^2$, $0 < x < 15$.
2. $V' = (30 - 2x)^2 - 4x(30 - 2x) = (30 - 2x)(30 - 6x)$.
3. Внутри промежутка $V' = 0$ при $x = 5$; знак меняется с плюса на минус — максимум.
4. $V = 5 \cdot 20^2 = 2000$ см³.

Разобранный пример 5

Огородить прямоугольный участок забором длиной 40 м так, чтобы площадь была наибольшей.

Стороны $x$ и $20 - x$, $S = x(20 - x)$, $S' = 20 - 2x = 0$ при $x = 10$. Лучший прямоугольник — квадрат $10 \times 10$, площадь 100 м².

Выпуклость и точки перегиба

Вторая производная $f''$ (производная от производной) показывает, как меняется наклон. Если $f'' > 0$, график выпуклый вниз (как чаша), если $f'' < 0$ — выпуклый вверх (как купол). Точки, где выпуклость меняется, называют точками перегиба. У $y = x^3$ это начало координат; у $y = x^3 - 3x$ тоже: $f'' = 6x$ меняет знак в нуле.

Немного истории

Пьер Ферма около 1636 года предложил правило поиска экстремумов: в точке максимума малое изменение аргумента почти не меняет функцию. Это и есть условие $f'(x_0) = 0$. Задачи на оптимизацию решали и раньше: Герон Александрийский доказал, что свет отражается по кратчайшему пути.

Типичные ошибки

• Считать каждую точку с $f'(x) = 0$ экстремумом, не проверив смену знака.
• Забывать сравнить значения на концах отрезка при поиске наибольшего и наименьшего.
• Путать точку экстремума ($x_0$) и экстремум (значение $f(x_0)$).
• В задачах на оптимизацию не учитывать допустимый промежуток переменной.

Что дальше

• Прикладные задачи на оптимизацию — прикладные задачи на оптимизацию.
• Общие методы решения уравнений и неравенств. Задачи с параметром — задачи с параметром.
• Экстремальные задачи в стереометрии — экстремальные задачи в стереометрии.
• Исследование функций и построение графиков — исследование функций в курсе анализа.