Одночлены

Зачем это нужно

Формулы площади ($S = ab$), объёма ($V = a^3$), пути ($s = vt$), кинетической энергии ($E = \frac{mv^2}{2}$) — всё это одночлены: произведения чисел, переменных и их степеней. Одночлены — «кирпичики» алгебры: из них, как из деталей, складываются многочлены, а с многочленами вы будете работать весь курс алгебры — от разложения на множители до производных в 11 классе.

В этой теме мы научимся приводить одночлены к единому — стандартному — виду, перемножать их и возводить в степень.

Что такое одночлен

Одночлен — выражение, которое является произведением чисел, переменных и их натуральных степеней.

Одночлены: $5x^2y$, $-3ab$, $\frac{1}{2}m^3$, $x$, $-7$, $2a \cdot 3b \cdot a$.

Не одночлены: $a + b$ (сумма), $\frac{3}{x}$ (деление на переменную), $x - 2y$.

Числа и отдельные переменные тоже считаются одночленами.

Стандартный вид одночлена

Одночлен $2a \cdot 3b \cdot a$ записан «неаккуратно»: в нём два числа и переменная $a$ встречается дважды. Приведём его к стандартному виду:

$2a \cdot 3b \cdot a = (2 \cdot 3) \cdot (a \cdot a) \cdot b = 6a^2b.$

Одночлен стандартного вида — это одночлен, в котором:

1. один числовой множитель, стоящий на первом месте;
2. каждая переменная встречается один раз (со своей степенью).

Числовой множитель называют коэффициентом. У $6a^2b$ коэффициент 6, у $-x^3$ коэффициент $-1$, у $ab$ — коэффициент 1.

Степень одночлена

Степень одночлена — сумма показателей степеней всех переменных.

Подобные одночлены

Одночлены стандартного вида, которые отличаются только коэффициентами (или совсем не отличаются), называют подобными: $3x^2y$ и $-5x^2y$; $ab^3$ и $7ab^3$. Их можно складывать: $3x^2y + (-5x^2y) = -2x^2y$.

А $x^2y$ и $xy^2$ — не подобные, хотя состоят из тех же букв: степени разные.

Умножение одночленов

Чтобы перемножить одночлены, перемножают коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями (по правилу $a^m a^n = a^{m+n}$).

Разобранный пример 1

Выполните умножение: $(-3a^2b) \cdot (4ab^3)$.

1. Коэффициенты: $-3 \cdot 4 = -12$.
2. $a^2 \cdot a = a^3$, $b \cdot b^3 = b^4$.
3. Результат: $-12a^3b^4$.
4. Проверка степени: $3 + 4 = 7$, а у множителей $3 + 4 = 7$ — при умножении степени одночленов складываются, сходится.

Ответ: $-12a^3b^4$.

Возведение одночлена в степень

Каждый множитель возводят в эту степень: коэффициент — в степень, показатели переменных — умножают.

Разобранный пример 2

Возведите в степень: $(-2x^3y)^4$.

1. $(-2)^4 = 16$.
2. $(x^3)^4 = x^{12}$, $y^4$.
3. Результат: $16x^{12}y^4$.

Обратите внимание на знак: чётная степень отрицательного коэффициента даёт плюс. А $(-2x^3y)^3 = -8x^9y^3$ — минус сохраняется.

Разобранный пример 3

Упростите $(-\frac{1}{2}a^2b)^3 \cdot 8ab^2$.

1. $(-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}$, $(a^2)^3 = a^6$, $b^3$: получили $-\frac{1}{8}a^6b^3$.
2. Умножаем: $-\frac{1}{8} \cdot 8 = -1$; $a^6 \cdot a = a^7$; $b^3 \cdot b^2 = b^5$.
3. Результат: $-a^7b^5$.

Где встречаются одночлены

• Площадь прямоугольника $S = ab$ — одночлен второй степени.
• Объём куба $V = a^3$ — третьей степени.
• Путь при равномерном движении $s = vt$, работа $A = Fs$, кинетическая энергия $E = \frac{1}{2}mv^2$.

Если сторону квадрата увеличить вдвое, его площадь (одночлен второй степени) вырастет в $2^2 = 4$ раза, а объём куба (одночлен третьей степени) — в $2^3 = 8$ раз. Степень одночлена в физике часто подсказывает размерность: площадь — «длина во второй степени», объём — «в третьей».

Одночлены и многочлены — как связаны

Сумма одночленов называется многочленом. Сложить можно только подобные одночлены — тогда снова получится одночлен. Например, $3x^2y + 5x^2y = 8x^2y$. А сумма неподобных одночленов, например $3x^2 + 5x$, уже не упрощается — это многочлен из двух членов. Поэтому стандартный вид одночлена так важен: только по нему сразу видно, какие члены подобны и могут быть объединены.

Умножение одночленов, напротив, всегда возможно и всегда даёт снова одночлен. Это свойство пригодится при умножении многочленов: там каждое произведение «член на член» — это умножение одночленов.

История вопроса

Термины «одночлен» и «многочлен» — переводы латинских monomium и polynomium (от греческого mono — «один», poly — «много»). Их ввели европейские алгебраисты XVI–XVII веков, когда появилась буквенная запись выражений.

Проверка ответа

Ответ легко проверить подстановкой. Возьмите удобные значения переменных, например $a = 1$, $b = 2$, и вычислите исходное выражение и результат. Для примера 1: $(-3 \cdot 1 \cdot 2) \cdot (4 \cdot 1 \cdot 8) = -6 \cdot 32 = -192$ и $-12 \cdot 1 \cdot 16 = -192$. Совпало — значит, умножение выполнено верно.

Типичные ошибки

• Складывать показатели при возведении в степень вместо умножения: $(x^3)^4 = x^7$.
• Забывать возводить в степень коэффициент: $(2x)^3 = 2x^3$.
• Неверно определять знак при возведении отрицательного коэффициента в степень.
• Считать подобными одночлены $x^2y$ и $xy^2$.
• Определять степень одночлена по коэффициенту.

Что дальше

• Многочлены. Сложение, вычитание, умножение — многочлен — сумма одночленов; научимся складывать, вычитать и умножать многочлены.