Многочлены. Сложение, вычитание, умножение

Зачем это нужно

Выражения вроде $3x^2 - 5x + 2$ или $a^2 + 2ab + b^2$ встречаются в алгебре постоянно: в формулах площади и объёма, в законах движения ($s = v_0t + \frac{at^2}{2}$), в уравнениях. Это многочлены — суммы одночленов. Умение складывать, вычитать и перемножать их — основа всех алгебраических преобразований.

Без уверенной работы с многочленами невозможно освоить формулы сокращённого умножения, разложение на множители, квадратные уравнения, а позже — производные и интегралы.

Многочлен

Многочлен — сумма одночленов. Каждый одночлен называют членом многочлена.

$3x^2 - 5x + 2 = 3x^2 + (-5x) + 2 \quad\text{— три члена.}$

Многочлен из двух членов называют двучленом, из трёх — трёхчленом. Одночлен — частный случай многочлена (из одного члена).

Стандартный вид многочлена

Многочлен стандартного вида — такой, в котором каждый член записан в стандартном виде и нет подобных членов. Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно привести подобные.

$4x^2 - 3x + 7 - x^2 + 5x - 2 = (4x^2 - x^2) + (-3x + 5x) + (7 - 2) = 3x^2 + 2x + 5.$

Степень многочлена стандартного вида — наибольшая из степеней его членов. У $3x^2 + 2x + 5$ степень 2; у $a^3b - 4ab + 1$ — степень 4.

Обычно члены записывают по убыванию степеней переменной.

Сложение и вычитание

Чтобы сложить многочлены, раскрывают скобки и приводят подобные. Чтобы вычесть, раскрывают скобки, меняя знаки всех членов вычитаемого.

Разобранный пример 1

Найдите разность $(5x^2 - 3x + 1) - (2x^2 + x - 4)$.

1. Раскрываем скобки: $5x^2 - 3x + 1 - 2x^2 - x + 4$.
2. Приводим подобные: $3x^2 - 4x + 5$.
3. Проверка при $x = 1$: $(5 - 3 + 1) - (2 + 1 - 4) = 3 - (-1) = 4$; $3 - 4 + 5 = 4$. Совпало.

Ответ: $3x^2 - 4x + 5$.

Умножение одночлена на многочлен

По распределительному свойству: одночлен умножают на каждый член многочлена и результаты складывают.

$-2a(3a^2 - a + 5) = -6a^3 + 2a^2 - 10a.$

Следите за знаками: $-2a \cdot (-a) = +2a^2$.

Умножение многочлена на многочлен

Каждый член одного многочлена умножают на каждый член другого и результаты складывают.

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.$

Геометрически: площадь прямоугольника $(a + b) \times (c + d)$ равна сумме площадей четырёх частей.

Разобранный пример 2

Выполните умножение: $(2x - 3)(x^2 + 4x - 1)$.

1. $2x \cdot x^2 = 2x^3$; $2x \cdot 4x = 8x^2$; $2x \cdot (-1) = -2x$.
2. $-3 \cdot x^2 = -3x^2$; $-3 \cdot 4x = -12x$; $-3 \cdot (-1) = 3$.
3. Сумма: $2x^3 + 8x^2 - 2x - 3x^2 - 12x + 3 = 2x^3 + 5x^2 - 14x + 3$.
4. Проверка при $x = 1$: $(2 - 3)(1 + 4 - 1) = -4$; $2 + 5 - 14 + 3 = -4$. Совпало.

Ответ: $2x^3 + 5x^2 - 14x + 3$.

Контроль числа слагаемых: при умножении двучлена на трёхчлен до приведения подобных должно получиться $2 \cdot 3 = 6$ произведений.

Разобранный пример 3

Решите уравнение $(x + 3)(x - 2) - x^2 = 4$.

1. $(x + 3)(x - 2) = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6$.
2. $x^2 + x - 6 - x^2 = 4$, то есть $x - 6 = 4$, $x = 10$.
3. Проверка: $13 \cdot 8 - 100 = 104 - 100 = 4$. Верно.

Ответ: $x = 10$.

Многочлен как «число» в алгебре

С многочленами можно обращаться почти как с числами: их складывают, вычитают и умножают, и результат — снова многочлен. Здесь работают те же законы, что для чисел: переместительный, сочетательный, распределительный. Даже умножение «столбиком» для многочленов выглядит так же, как для многозначных чисел: число $347$ — это, по сути, многочлен $3x^2 + 4x + 7$ при $x = 10$. Поэтому умножение многочленов — обобщение умножения многозначных чисел, только без «переноса в следующий разряд».

А вот деление многочленов — задача сложнее; её вы встретите в 10 классе (деление «уголком» и теорема Безу).

Порядок записи

Многочлен с одной переменной принято записывать по убыванию степеней: $2x^3 + 5x^2 - 14x + 3$. Тогда его легче сравнивать с другими, проверять ответ и находить коэффициенты. Свободный член (число без переменной) записывают последним.

Проверка подстановкой

Самый быстрый способ проверить преобразование — подставить удобное число (например, 1 или 2) в исходное и полученное выражения. Если значения разные — где-то ошибка. Если совпали — ошибка маловероятна (но для полной уверенности можно проверить ещё одно значение).

История вопроса

Многочлены — одни из самых древних объектов алгебры: задачи, сводящиеся к ним, решали в Вавилоне 4 000 лет назад. Действия с многочленами в буквенной записи систематизировали европейские математики XVI–XVII веков — Виет, Декарт, Ньютон. Ньютон называл алгебру «всеобщей арифметикой», а многочлены — её главными «числами».

Где применяется

Многочлены описывают множество процессов. Путь при равноускоренном движении $s = v_0t + \frac{at^2}{2}$ — многочлен второй степени от времени. Объём коробки, вырезанной из листа картона, — многочлен третьей степени от размера выреза. Компьютерная графика рисует плавные кривые (например, шрифты) с помощью многочленов.

Типичные ошибки

• При вычитании многочлена менять знак только у первого члена.
• При умножении многочленов пропускать некоторые произведения — помогает подсчёт их количества.
• Ошибаться в знаках при умножении отрицательных членов.
• Складывать неподобные члены: $3x^2 + 2x = 5x^3$.
• Считать степенью многочлена сумму степеней всех членов.

Что дальше

• Разложение на множители. Вынесение и группировка — обратная задача: представить многочлен в виде произведения.
• Формулы сокращённого умножения — для часто встречающихся произведений есть готовые формулы.