Степень с натуральным показателем и её свойства

Зачем это нужно

С понятием степени мы познакомились в 5 классе: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ . Теперь научимся преобразовывать выражения со степенями: умножать и делить степени, возводить их в степень, работать со степенями отрицательных чисел. Это нужно, чтобы упрощать выражения вроде $\dfrac{a^7 \cdot a^3}{a^4}$ без утомительных вычислений.

Свойства степеней — основа работы с многочленами, стандартным видом числа (запись $3 \cdot 10^8$ м/с в физике), корнями, показательной функцией и логарифмами в старших классах.

Определение

Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n > 1$ называют произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$ :

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n}, \qquad a^1 = a.$

$a$ — основание, $n$ — показатель.

Степени отрицательных чисел

Чётная степень отрицательного числа положительна: $(-2)^4 = 16$ .
Нечётная степень отрицательного числа отрицательна: $(-2)^3 = -8$ .

Внимание к скобкам: $(-2)^4 = 16$ , но $-2^4 = -(2^4) = -16$ . Без скобок в степень возводится только 2.

Любая степень нуля равна 0, любая степень единицы — 1. Квадрат любого числа неотрицателен: $a^2 \ge 0$ .

Основные свойства степеней

Наглядное объяснение: a³ · a² — это три множителя a и ещё два, всего пять: a⁵; (a³)² — две группы по три множителя, всего шесть: a⁶

Свойство	Формула	Пример
умножение степеней с одинаковым основанием	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$x^3 \cdot x^4 = x^7$
деление степеней ( $a \ne 0$ , $m > n$ )	$a^m : a^n = a^{m-n}$	$5^9 : 5^6 = 5^3$
возведение степени в степень	$(a^m)^n = a^{mn}$	$(y^2)^5 = y^{10}$
степень произведения	$(ab)^n = a^n b^n$	$(2x)^3 = 8x^3$
степень частного ( $b \ne 0$ )	$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$	$\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$

Все свойства следуют прямо из определения. Например, $a^3 \cdot a^2 = (a \cdot a \cdot a) \cdot (a \cdot a) = a^5$ — множители просто посчитали.

Важно: нет правила для суммы степеней: $a^2 + a^3 \ne a^5$ , и $(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$ .

Разобранный пример 1

Упростите $\dfrac{a^7 \cdot a^3}{a^4}$ .

Числитель: $a^7 \cdot a^3 = a^{10}$ .
Деление: $a^{10} : a^4 = a^6$ .
Проверка при $a = 2$ : $\dfrac{128 \cdot 8}{16} = 64 = 2^6$ . Верно.

Ответ: $a^6$ .

Разобранный пример 2

Вычислите $\dfrac{2^{10} \cdot 3^{5}}{6^{5}}$ .

$6^5 = (2 \cdot 3)^5 = 2^5 \cdot 3^5$ .
$\dfrac{2^{10} \cdot 3^5}{2^5 \cdot 3^5} = 2^5 = 32$ .

Ответ: 32.

Приём «разложить основание на множители» очень полезен: он превращает трудное вычисление в простое сокращение.

Разобранный пример 3

Сравните $2^{30}$ и $3^{20}$ .

$2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}$ , $3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$ .
$8^{10} < 9^{10}$ , значит $2^{30} < 3^{20}$ .

Откуда берутся свойства

Каждое свойство — это просто подсчёт множителей.

Умножение. В $a^m$ стоит $m$ множителей $a$ , в $a^n$ — ещё $n$ . Вместе — $m + n$ множителей: $a^{m+n}$ .
Деление. В дроби $\frac{a^m}{a^n}$ сокращаем $n$ одинаковых множителей сверху и снизу; остаётся $m - n$ множителей: $a^{m-n}$ . Поэтому основание не должно быть нулём — на ноль делить нельзя.
Степень степени. $(a^m)^n$ — это $n$ одинаковых «блоков», в каждом по $m$ множителей: всего $mn$ .
Степень произведения. $(ab)^n$ — это $n$ пар $ab$ ; переставив множители, соберём отдельно все $a$ и все $b$ : $a^n b^n$ .

Обратите внимание: все свойства работают только для степеней с одинаковым основанием (или одинаковым показателем — для степени произведения). Понимание этих рассуждений важнее заучивания: если забыли правило, его всегда можно восстановить, расписав степени на маленьком примере, например $a^2 \cdot a^3$ .

Степени вокруг нас

Степени удобны для записи очень больших и очень малых величин. Скорость света — около $3 \cdot 10^8$ м/с, расстояние до Солнца — около $1{,}5 \cdot 10^{11}$ м, число клеток в теле человека — порядка $10^{13}$ . Объём памяти в компьютере считают степенями двойки: $2^{10} = 1\,024$ байт — килобайт, $2^{20}$ — мегабайт, $2^{30}$ — гигабайт. С такой записью вы подробно познакомитесь, когда изучите степени с целыми показателями.

Функции $y = x^2$ и $y = x^3$

$y = x^2$ : график — парабола, симметричная относительно оси $Oy$ ; все значения неотрицательны; вершина в начале координат.

$y = x^3$ : график — кубическая парабола, симметричная относительно начала координат; при $x < 0$ значения отрицательны.

$x$	−2	−1	0	1	2
$x^2$	4	1	0	1	4
$x^3$	−8	−1	0	1	8

История вопроса

Запись степени маленьким числом справа сверху, как $a^3$ , ввёл Рене Декарт в 1637 году. До этого писали $aaa$ или использовали словесные сокращения. Слова «квадрат» и «куб» пришли из древнегреческой геометрии: $a^2$ — площадь квадрата со стороной $a$ , $a^3$ — объём куба с ребром $a$ .

Типичные ошибки

Перемножать показатели при умножении степеней: $x^3 \cdot x^4 = x^{12}$ (правильно $x^7$ ).
Складывать показатели при возведении в степень: $(y^2)^5 = y^7$ (правильно $y^{10}$ ).
Применять свойства к степеням с разными основаниями: $2^3 \cdot 3^2 = 6^5$ — неверно.
Возводить в степень только один множитель: $(2x)^3 = 2x^3$ (правильно $8x^3$ ).
Путать $(-2)^4$ и $-2^4$ .

Что дальше

Одночлены — одночлены: произведения чисел и степеней переменных.
Арифметический квадратный корень — квадратный корень — действие, обратное возведению в квадрат.
Степень с целым показателем. Стандартный вид числа — степени с нулевым и отрицательным показателем, стандартный вид числа.
Дисперсия и стандартное отклонение — в статистике дисперсия считается через квадраты отклонений.