Арифметическая прогрессия

Зачем это нужно

Места в рядах амфитеатра, где каждый следующий ряд на 2 места длиннее; ежемесячные взносы, увеличивающиеся на одну и ту же сумму; путь тела при равноускоренном движении за последовательные секунды; дни недели одного и того же числа месяцев — во всех этих случаях числа растут (или убывают) на одно и то же значение. Такие последовательности называются арифметическими прогрессиями. Умение быстро найти любой их член и сумму многих членов экономит время и встречается в ОГЭ (задание 14) и в задачах на кредиты в ЕГЭ.

Числовые последовательности

Последовательность — функция натурального аргумента: каждому номеру $n = 1, 2, 3, \ldots$ сопоставлено число $a_n$ — $n$-й член последовательности. Способы задания:

• формулой $n$-го члена: $a_n = 2n + 1$ даёт $3, 5, 7, \ldots$;
• рекуррентно — через предыдущие члены: $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + 2$;
• описанием: «последовательность простых чисел».

Определение и формула n-го члена

Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом $d$ — разностью прогрессии:

$a_{n+1} = a_n + d.$

При $d > 0$ прогрессия возрастает, при $d < 0$ — убывает, при $d = 0$ все члены равны.

Каждый шаг добавляет $d$, поэтому до $n$-го члена нужно сделать $n - 1$ шагов:

$a_n = a_1 + (n - 1)d.$

Разобранный пример 1

$a_1 = 5$, $d = 3$. Найдите $a_{20}$.

$a_{20} = 5 + 19 \cdot 3 = 62$.

Разобранный пример 2

В прогрессии $a_3 = 10$, $a_7 = 22$. Найдите $a_1$ и $d$.

1. От $a_3$ до $a_7$ — 4 шага: $4d = 12$, $d = 3$.
2. $a_1 = a_3 - 2d = 10 - 6 = 4$.

Характеристическое свойство: каждый член (кроме первого) равен среднему арифметическому соседних:

$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}.$

Отсюда и название прогрессии.

Сумма первых n членов

Легенда гласит, что учитель математики, чтобы занять класс, велел сложить все числа от 1 до 100. Девятилетний Карл Гаусс почти сразу дал ответ: 5050. Он заметил, что $1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = \ldots = 101$, а таких пар 50. Позже Гаусс стал одним из величайших математиков в истории — его называли «королём математиков».

Та же идея в общем виде: запишем сумму дважды — в прямом и обратном порядке — и сложим. Каждая пара даёт $a_1 + a_n$, пар $n$:

$S_n = \frac{(a_1 + a_n)\, n}{2} = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n.$

Разобранный пример 3

Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.

$S_{100} = \frac{(1 + 100) \cdot 100}{2} = 5050$.

Разобранный пример 4

Найдите сумму первых 15 членов прогрессии $7, 11, 15, \ldots$

1. $a_1 = 7$, $d = 4$, $a_{15} = 7 + 14 \cdot 4 = 63$.
2. $S_{15} = \frac{(7 + 63) \cdot 15}{2} = 525$.

Разобранный пример 5

В амфитеатре 20 рядов: в первом 30 мест, в каждом следующем на 2 больше. Сколько всего мест?

$S_{20} = \frac{2 \cdot 30 + 19 \cdot 2}{2} \cdot 20 = 49 \cdot 20 = 980$.

Арифметическая прогрессия и линейная функция

Формула $a_n = a_1 + (n - 1)d$ — это линейная функция от $n$: $a_n = dn + (a_1 - d)$. Поэтому точки $(n; a_n)$ лежат на одной прямой, а разность $d$ — её угловой коэффициент. Это удобно для проверки: если отметить члены последовательности на графике и точки не легли на прямую, последовательность не является арифметической прогрессией.

Полезные свойства

1. Члены, равноудалённые от концов, в сумме дают одно и то же: $a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = a_3 + a_{n-2} = \ldots$ Именно на этом основан приём Гаусса.
2. Если $m + k = p + q$, то $a_m + a_k = a_p + a_q$. Например, $a_3 + a_{10} = a_5 + a_8$.
3. Разность прогрессии можно найти по любым двум членам: $d = \dfrac{a_m - a_k}{m - k}$.

Разобранный пример 6

В прогрессии $a_4 + a_{12} = 30$. Найдите $a_8$ и сумму первых 15 членов.

1. $4 + 12 = 8 + 8$, поэтому $2a_8 = 30$, $a_8 = 15$.
2. $S_{15} = \frac{(a_1 + a_{15}) \cdot 15}{2}$, а $a_1 + a_{15} = 2a_8 = 30$; $S_{15} = 225$.

Как решать задачи на прогрессию

1. Определите, что известно: первый член, разность, какие-то члены с номерами, сумма.
2. Запишите известные величины через $a_1$ и $d$ — получится уравнение или система.
3. Найдите $a_1$ и $d$, затем искомую величину.
4. Проверьте ответ на правдоподобие: номер члена — натуральное число, количество мест в ряду не может быть дробным, а сумма положительных чисел — отрицательной.

Типичные ошибки

• Писать $a_n = a_1 + nd$ вместо $a_1 + (n - 1)d$: до $n$-го члена $n - 1$ шагов.
• Путать номер члена и сам член.
• Неправильно находить разность: $d = a_2 - a_1$, а не $a_1 - a_2$.
• Считать число членов от $a_k$ до $a_m$ как $m - k$ (на самом деле $m - k + 1$).
• Забывать делить на 2 в формуле суммы.

Что дальше

• Геометрическая прогрессия — геометрическая прогрессия.
• Метод математической индукции — метод математической индукции: доказательство формул сумм.
• Функциональные уравнения и рекуррентные соотношения — рекуррентные соотношения.