Линейные уравнения с одной переменной

Зачем это нужно

В 6 классе мы научились решать уравнения вроде $5x - 7 = 2x + 8$ . Теперь подведём итог: все такие уравнения сводятся к одному виду — линейному уравнению $ax = b$ . Изучив его до конца, мы будем точно знать, сколько корней может быть у уравнения и почему.

Линейные уравнения — самый частый тип уравнений в жизни и науке: им описываются равномерное движение, стоимость покупок, закон Ома, теплообмен в физике. А ещё к ним сводятся текстовые задачи, системы уравнений и многие сложные уравнения старших классов.

Уравнение и его корни

Уравнение с одной переменной — равенство, содержащее переменную. Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Решить уравнение — найти все его корни или доказать, что их нет.

У уравнения может быть один корень, несколько, бесконечно много или ни одного:

Уравнение	Корни
$2x = 6$	один корень: 3
$x^2 = 4$	два корня: −2 и 2
$x + 1 = x + 1$	любое число
$x + 1 = x$	корней нет

Равносильные уравнения

Уравнения называют равносильными, если у них одинаковые корни (или оба не имеют корней). Решение уравнения — это цепочка переходов к всё более простым равносильным уравнениям.

Свойства, которые сохраняют корни:

Любое слагаемое можно перенести из одной части в другую, изменив знак.
Обе части можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Почему нельзя умножать на ноль? Уравнение $x = 3$ имеет один корень, а « $0 \cdot x = 0 \cdot 3$ » — бесконечно много: корни изменились.

Линейное уравнение

Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение вида

$ax = b,$

где $x$ — переменная, $a$ и $b$ — числа.

Сколько у него корней?

Схема-дерево: уравнение ax = b; ветка a ≠ 0 — один корень x = b/a; ветка a = 0: при b = 0 — x любое, при b ≠ 0 — корней нет

Случай	Пример	Решение
$a \ne 0$	$-4x = 10$	$x = \dfrac{b}{a} = -2{,}5$ — один корень
$a = 0$ , $b = 0$	$0 \cdot x = 0$	любое число — корень
$a = 0$ , $b \ne 0$	$0 \cdot x = 7$	корней нет

Как привести уравнение к линейному

Многие уравнения после тождественных преобразований становятся линейными:

Освободиться от знаменателей (умножить обе части на общий знаменатель).
Раскрыть скобки.
Перенести слагаемые с переменной влево, числа — вправо.
Привести подобные: получится $ax = b$ .
Разобрать случаи.

Разобранный пример 1

Решите уравнение $\dfrac{3x - 1}{4} - \dfrac{x + 2}{3} = 1$ .

Умножим обе части на 12: $3(3x - 1) - 4(x + 2) = 12$ .
Раскроем скобки: $9x - 3 - 4x - 8 = 12$ .
Приведём подобные: $5x - 11 = 12$ , $5x = 23$ .
$x = 4{,}6$ .
Проверка: $\dfrac{13{,}8 - 1}{4} - \dfrac{6{,}6}{3} = 3{,}2 - 2{,}2 = 1$ . Верно.

Ответ: $x = 4{,}6$ .

Разобранный пример 2

Решите уравнение $2(x - 3) + 5 = 2x - 1$ .

$2x - 6 + 5 = 2x - 1$ .
$2x - 2x = -1 + 1$ , то есть $0 \cdot x = 0$ .
Это верно при любом $x$ .

Ответ: $x$ — любое число.

Разобранный пример 3

При каком значении $a$ уравнение $ax = 3 - x$ не имеет корней?

Переносим: $ax + x = 3$ , $(a + 1)x = 3$ .
Корней нет, когда коэффициент равен 0, а правая часть — нет: $a + 1 = 0$ , $a = -1$ .
Проверка: при $a = -1$ получаем $0 \cdot x = 3$ — корней нет.

Ответ: $a = -1$ .

Это первая встреча с уравнениями с параметром — буквой, от значения которой зависит ответ. Такие задачи часто встречаются на экзаменах.

Линейное уравнение и график

У линейного уравнения есть наглядный смысл, который мы подробно разберём в теме о линейной функции. Корень уравнения $kx + b = 0$ — это абсцисса точки, в которой прямая $y = kx + b$ пересекает ось $Ox$ . Если $k \ne 0$ , прямая наклонная и пересекает ось ровно в одной точке — один корень. Если $k = 0$ , прямая горизонтальна: либо совпадает с осью ( $b = 0$ , корень — любое число), либо параллельна ей ( $b \ne 0$ , корней нет). Так алгебраический результат о числе корней получает геометрическое объяснение.

Типичные ошибки

Делить на коэффициент, не проверив, что он не равен нулю.
Умножать на общий знаменатель только часть слагаемых.
Терять минус перед дробью: $-\dfrac{x + 2}{3}$ превращается в $-4(x + 2)$ , а не $-4x + 8$ .
Отвечать « $x = 0$ », когда получилось $0 \cdot x = 0$ . Правильный ответ — «любое число».
Делать проверку не по исходному уравнению.

Что дальше

Текстовые задачи с помощью уравнений — составление линейных уравнений по условию задач.
Линейная функция и её график — график $y = kx + b$ ; корень уравнения $kx + b = 0$ — точка пересечения графика с осью $Ox$ .
Системы линейных уравнений с двумя переменными — системы двух линейных уравнений.
Числовые и линейные неравенства. Системы неравенств — линейные неравенства решаются похоже, но со своими особенностями.
Арифметическая прогрессия, Модуль числа и расстояние на числовой прямой, Количество теплоты. Удельная теплоёмкость — линейные уравнения встретятся в прогрессиях, задачах с модулем и уравнении теплового баланса.