Геометрическая прогрессия

Зачем это нужно

Бактерия делится каждые 20 минут — через сутки их потомство может покрыть Землю. Вклад в банке растёт на одни и те же проценты каждый год. Цена автомобиля каждый год падает на 15 %. Радиоактивное вещество за каждый период полураспада теряет половину массы. Все эти процессы описывает геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член получается умножением предыдущего на одно и то же число. Она объясняет «взрывной» рост и затухание, лежит в основе финансовых расчётов (кредиты, вклады) и встречается в задачах ОГЭ и ЕГЭ.

Определение и формула n-го члена

Геометрическая прогрессия — последовательность отличных от нуля чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число $q$ — знаменатель прогрессии:

$b_{n+1} = b_n \cdot q, \qquad b_1 \ne 0, \ q \ne 0.$

Каждый шаг — умножение на $q$, до $n$-го члена $n - 1$ шагов:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}.$

• $q > 1$ (при $b_1 > 0$) — прогрессия возрастает, причём очень быстро;
• $0 < q < 1$ — убывает, приближаясь к нулю;
• $q < 0$ — знаки членов чередуются.

Разобранный пример 1

$b_1 = 3$, $q = 2$. Найдите $b_6$.

$b_6 = 3 \cdot 2^5 = 96$.

Разобранный пример 2

В прогрессии $b_2 = 6$, $b_5 = 162$. Найдите $q$ и $b_1$.

1. От $b_2$ до $b_5$ — 3 шага: $q^3 = 162 : 6 = 27$, $q = 3$.
2. $b_1 = 6 : 3 = 2$.

Характеристическое свойство: квадрат каждого члена (кроме первого) равен произведению соседних:

$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}.$

Для положительных членов это значит, что каждый член — среднее геометрическое соседних: $b_n = \sqrt{b_{n-1} b_{n+1}}$. Отсюда название.

Сумма первых n членов

Запишем $S_n = b_1 + b_1 q + \ldots + b_1 q^{n-1}$, умножим на $q$ и вычтем: почти все слагаемые сократятся, и при $q \ne 1$

$S_n = \frac{b_1 (q^n - 1)}{q - 1}.$

Разобранный пример 3

Найдите сумму $1 + 2 + 4 + \ldots + 512$.

1. $b_1 = 1$, $q = 2$, $512 = 2^9$ — это $b_{10}$.
2. $S_{10} = \frac{2^{10} - 1}{1} = 1023$.

Легенда о шахматах. Изобретатель шахмат попросил у правителя за первую клетку доски 1 зерно, за вторую — 2, за третью — 4, и так удваивая. Правитель посмеялся над скромной просьбой и согласился, не подозревая, что всего зёрен будет $2^{64} - 1 \approx 1{,}8 \cdot 10^{19}$ — больше, чем человечество собрало за всю историю.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Если $|q| < 1$, члены прогрессии стремятся к нулю, а суммы $S_n$ — к конечному числу, которое называют суммой бесконечно убывающей прогрессии:

$S = \frac{b_1}{1 - q}.$

Пример: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1$. Так же любую периодическую десятичную дробь можно записать обыкновенной: $0{,}(3) = 0{,}3 + 0{,}03 + \ldots = \frac{0{,}3}{1 - 0{,}1} = \frac{1}{3}$.

Сложные проценты

Банки, кредиты, инфляция, рост населения — всё это примеры сложных процентов, когда проценты начисляются не только на исходную сумму, но и на уже начисленные проценты. Если сумма $A$ каждый год увеличивается на $p\,\%$, то через $n$ лет она станет

$A \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$

— это член геометрической прогрессии с $q = 1 + \frac{p}{100}$.

Разобранный пример 4

Вклад 100 000 руб. под 10 % годовых с капитализацией. Сколько будет через 3 года?

$100\,000 \cdot 1{,}1^3 = 133\,100$ руб.

Арифметическая и геометрическая прогрессии: сравнение

Геометрическая прогрессия с $q > 1$ рано или поздно обгоняет любую арифметическую. Если одному предложили 1000 рублей в день, а другому — 1 копейку в первый день и вдвое больше каждый следующий, то за 30 дней первый получит 30 000 рублей, а второй — $(2^{30} - 1)$ копеек, то есть больше 10 миллионов рублей.

Парадокс Зенона

Древнегреческий философ Зенон утверждал, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху: пока он добежит до места, где была черепаха, она отползёт дальше, и так бесконечно. Разгадка — в бесконечно убывающей прогрессии: если Ахиллес в 10 раз быстрее и черепаха впереди на 100 м, то отрезки пути Ахиллеса $100 + 10 + 1 + 0{,}1 + \ldots$ в сумме дают $\frac{100}{1 - 0{,}1} \approx 111{,}1$ м — конечное расстояние, на котором он и догонит черепаху.

Типичные ошибки

• Писать $b_n = b_1 q^n$ вместо $b_1 q^{n-1}$.
• Путать разность (арифметическая) и знаменатель (геометрическая) прогрессии.
• Применять формулу бесконечной суммы при $|q| \ge 1$: тогда суммы неограниченно растут или «колеблются».
• Терять знак при $q < 0$: например, $(-2)^3 = -8$.
• Считать проценты «просто»: за 3 года по 10 % вклад вырастет не на 30 %, а на 33,1 % — проценты начисляются и на проценты.

Что дальше

• Действительные числа — действительные числа, периодические дроби.