Метод координат в пространстве

Зачем это нужно

Стереометрические задачи на углы и расстояния часто требуют хитрых дополнительных построений. Метод координат превращает геометрию в алгебру: вводим систему координат, записываем координаты вершин — и дальше только вычисления по формулам. Это надёжный способ решать задачу 14 профильного ЕГЭ. Тот же аппарат используют в компьютерной графике и 3D-моделировании, в навигации, робототехнике, механике и физике.

Прямоугольная система координат

Через точку $O$ проводят три попарно перпендикулярные оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ с общей единицей длины. Каждой точке $M$ соответствуют три числа $(x; y; z)$ — её координаты (абсцисса, ордината, аппликата). Координаты вектора $\vec a = x\vec i + y\vec j + z\vec k$ — коэффициенты его разложения по единичным векторам осей.

Основные формулы (для точек $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$):

• координаты вектора: $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1;\ y_2 - y_1;\ z_2 - z_1)$;
• длина вектора: $|\vec a| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$;
• расстояние между точками: $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$;
• середина отрезка: $\left(\frac{x_1 + x_2}{2};\ \frac{y_1 + y_2}{2};\ \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$.

Разобранный пример 1

Даны $A(1; 2; 3)$ и $B(3; -2; 1)$. Найдите середину и длину отрезка $AB$.

Середина $(2; 0; 2)$; $AB = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \approx 4{,}9$.

Скалярное произведение и углы

$\vec a \cdot \vec b = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = |\vec a||\vec b|\cos\varphi.$

Скалярное произведение показывает, насколько векторы «сонаправлены»: оно положительно при остром угле, отрицательно при тупом. Отсюда $\cos\varphi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}$, а векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

• Угол между прямыми находят по их направляющим векторам $\vec p$, $\vec q$: $\cos\alpha = \frac{|\vec p \cdot \vec q|}{|\vec p||\vec q|}$ (модуль — потому что угол между прямыми не больше $90^\circ$).

Уравнение плоскости

Любая плоскость задаётся уравнением

$ax + by + cz + d = 0,$

где вектор $\vec n = (a; b; c)$ — нормаль (перпендикуляр к плоскости). Чтобы составить уравнение по трём точкам, подставляют их координаты и решают систему.

Удобный частный случай — уравнение в отрезках: если плоскость отсекает на осях отрезки $a$, $b$, $c$, то её уравнение $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$. Например, плоскость через $(2; 0; 0)$, $(0; 3; 0)$, $(0; 0; 6)$: $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1$, или $3x + 2y + z = 6$.

Расстояние от точки $M(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости:

$\rho = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.$

Угол между прямой и плоскостью: $\sin\theta = \frac{|\vec l \cdot \vec n|}{|\vec l||\vec n|}$, где $\vec l$ — направляющий вектор прямой. Угол между плоскостями равен углу между их нормалями (взятому не больше $90^\circ$).

Задачи в единичном кубе

Поместим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 1 так: $A(0; 0; 0)$, $B(1; 0; 0)$, $D(0; 1; 0)$, $A_1(0; 0; 1)$. Тогда $C(1; 1; 0)$, $B_1(1; 0; 1)$, $C_1(1; 1; 1)$, $D_1(0; 1; 1)$.

Разобранный пример 2

Найдите угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

$\overrightarrow{AB_1} = (1; 0; 1)$, $\overrightarrow{BC_1} = (0; 1; 1)$. $\cos\alpha = \frac{0 + 0 + 1}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$, $\alpha = 60^\circ$.

Разобранный пример 3

Найдите расстояние от вершины $A$ до плоскости $A_1BD$.

1. Подставим точки $(0; 0; 1)$, $(1; 0; 0)$, $(0; 1; 0)$ в $ax + by + cz + d = 0$: получим $x + y + z - 1 = 0$.
2. $\rho = \frac{|0 + 0 + 0 - 1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577$.

Заметим: нормаль $(1; 1; 1)$ совпадает с направлением диагонали $AC_1$, значит, $AC_1 \perp A_1BD$ — красивый факт, который синтетически доказывать дольше.

Разобранный пример 4

Найдите угол между диагональю $AC_1$ и плоскостью основания $ABC$.

Плоскость основания $z = 0$, нормаль $(0; 0; 1)$; $\vec l = (1; 1; 1)$. $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\theta \approx 35{,}3^\circ$.

Разобранный пример 5

Найдите угол между плоскостями $A_1BD$ и $ABC$.

Нормали $(1; 1; 1)$ и $(0; 0; 1)$: $\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\varphi \approx 54{,}7^\circ$. Вместе с ответом примера 4 получается $90^\circ$ — так и должно быть, ведь $AC_1$ перпендикулярна плоскости $A_1BD$.

Движения

Движение — преобразование пространства, сохраняющее расстояния. Основные виды: центральная симметрия относительно начала координат $(x; y; z) \to (-x; -y; -z)$; осевая симметрия относительно оси $Oz$ $(x; y; z) \to (-x; -y; z)$; зеркальная симметрия относительно плоскости $Oxy$ $(x; y; z) \to (x; y; -z)$; параллельный перенос на вектор $(a; b; c)$. Движения переводят прямые в прямые, плоскости в плоскости, сохраняют углы.

Алгоритм метода координат

1. Удачно ввести систему координат (начало в вершине, оси вдоль рёбер).
2. Найти координаты нужных точек.
3. Найти векторы, нормали, уравнения плоскостей.
4. Применить формулы угла или расстояния.
5. Проверить ответ на правдоподобие.

Немного истории

Метод координат на плоскости создали Рене Декарт и Пьер Ферма в 1630-х годах. Пространственные координаты систематически применил Леонард Эйлер, а уравнение плоскости и формулу расстояния вывел Жозеф Луи Лагранж (1773). Векторное исчисление в современном виде сложилось в работах Гиббса и Хевисайда в конце XIX века.

Типичные ошибки

• Вычитать координаты в неправильном порядке (из начала конец).
• Забывать модуль при вычислении угла между прямыми.
• Путать формулы: для угла прямой с плоскостью — синус, а не косинус.
• Ошибаться в координатах вершин, особенно в правильных призмах и пирамидах с нецелыми координатами.

Что дальше

• Координатно-векторный метод в пространстве — координатно-векторный метод для сложных задач.
• Элементы сферической геометрии — элементы сферической геометрии.
• Векторная алгебра в пространстве — векторная алгебра в пространстве.