Векторы в пространстве

Зачем это нужно

Сила, скорость, перемещение самолёта или дрона — это векторы, и живут они в трёхмерном пространстве. В 9 классе мы научились работать с векторами на плоскости; теперь перенесём эти идеи в пространство. Векторы позволяют решать стереометрические задачи без сложных построений: вместо поиска нужного сечения или угла мы раскладываем векторы и считаем. Именно так рассчитывают траектории в компьютерной графике, робототехнике и физике, а в 11 классе на этом основан метод координат в пространстве.

Понятие вектора

Вектор в пространстве — направленный отрезок. Все определения такие же, как на плоскости:

• длина (модуль) $|\vec{a}|$;
• коллинеарные векторы лежат на параллельных прямых (или на одной);
• равные векторы сонаправлены и имеют равные длины;
• нулевой вектор $\vec{0}$ имеет нулевую длину.

Сложение (правило треугольника и параллелограмма), вычитание и умножение на число определяются и выполняются так же, как на плоскости. Для нескольких векторов удобно правило многоугольника: $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{AD}$.

Компланарные векторы

Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной точки они лежат в одной плоскости. Любые два вектора компланарны, а любые три вектора, один из которых нулевой или два из которых коллинеарны, тоже компланарны. Три вектора могут быть и некомпланарными — например, три ребра куба, выходящие из одной вершины.

Признак компланарности. Если вектор $\vec{c}$ можно разложить по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$, то есть $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$, то три вектора компланарны.

Правило параллелепипеда

Если $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ — некомпланарные векторы, отложенные от точки $A$, то их сумма — диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах:

$\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}.$

Разложение по трём векторам

Теорема. Любой вектор $\vec{p}$ можно разложить по трём некомпланарным векторам, причём единственным образом: $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$. Числа $x$, $y$, $z$ называются коэффициентами разложения; в 11 классе, для единичных взаимно перпендикулярных векторов, это будут координаты.

Разобранный пример 1

В параллелепипеде $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$, $\vec{AA_1} = \vec{c}$. Выразите $\vec{B_1D}$.

$\vec{B_1D} = \vec{AD} - \vec{AB_1} = \vec{b} - (\vec{a} + \vec{c}) = -\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$.

Разобранный пример 2

M — середина ребра $CC_1$. Выразите $\vec{AM}$.

$\vec{AM} = \vec{AC} + \vec{CM} = (\vec{a} + \vec{b}) + \frac{1}{2}\vec{c}$.

Разобранный пример 3

Компланарны ли векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{A_1C_1}$?

$\vec{A_1C_1} = \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$ — разложен по двум другим, значит, векторы компланарны.

Разобранный пример 4 (тетраэдр)

В тетраэдре $DABC$ точка $G$ — точка пересечения медиан грани $ABC$. Выразите $\vec{DG}$ через $\vec{DA}$, $\vec{DB}$, $\vec{DC}$.

Для точки пересечения медиан треугольника $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$. Отсюда $\vec{DG} = \frac{1}{3}(\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC})$.

Длины и скалярное произведение

Скалярное произведение в пространстве определяется так же: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi$. С его помощью находят длины и углы. Например, если рёбра куба $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ единичные и взаимно перпендикулярные, то $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 1 + 1 + 1 = 3$ (все попарные скалярные произведения равны нулю), и диагональ куба равна $\sqrt{3}$.

Векторный метод в действии

Разобранный пример 5

Докажите, что три отрезка, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

1. Отложим все векторы от одной точки $O$. Середина $M$ ребра $AB$: $\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$. Середина $N$ ребра $CD$: $\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD})$.
2. Середина отрезка $MN$: $\frac{1}{2}(\vec{OM} + \vec{ON}) = \frac{1}{4}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})$.
3. Это выражение симметрично относительно всех четырёх вершин, поэтому для двух других пар противоположных рёбер получится та же точка. ∎

Без векторов пришлось бы рассматривать несколько параллелограммов. Здесь доказательство заняло три строки.

Как раскладывать вектор:

1. Выберите три некомпланарных базисных вектора, удобно — рёбра из одной вершины.
2. Пройдите от начала вектора к его концу по рёбрам или их частям (правило многоугольника).
3. Каждый участок выразите через базисные векторы с нужным коэффициентом и знаком.
4. Сложите коэффициенты при одинаковых векторах.

Векторы в физике

Если на тело действуют три взаимно перпендикулярные силы 3 Н, 4 Н и 12 Н, их равнодействующая — диагональ прямоугольного параллелепипеда: $\sqrt{9 + 16 + 144} = 13$ Н. Так же складывают скорости самолёта относительно воздуха, ветра и восходящего потока.

Типичные ошибки

• Путать «компланарные» и «коллинеарные».
• Складывать векторы, не проверив, что конец одного совпадает с началом другого.
• Забывать знаки при выражении вектора, идущего «против» базисных направлений.
• Раскладывать по трём компланарным векторам — разложение тогда не единственно или невозможно.
• Считать длину суммы равной сумме длин.

Что дальше

• Метод координат в пространстве — координаты и векторы в пространстве.