Простейшие уравнения

Зачем это нужно

«Я задумал число, прибавил к нему 8 и получил 15. Какое число я задумал?» Такие загадки решаются с помощью уравнений. Уравнение — это способ записать задачу, в которой что-то неизвестно, и аккуратно найти это неизвестное.

Уравнения — один из самых важных инструментов математики. В 5 классе вы будете решать уравнения посложнее, в 7 классе — линейные, в 8 — квадратные, а физики и инженеры решают уравнения каждый день. Начинается всё с простых уравнений на сложение и вычитание.

Что такое уравнение

Неизвестное число обозначают латинской буквой, чаще всего $x$ («икс»). Запись

$x + 8 = 15$

— это уравнение: равенство, в котором есть неизвестное число.

Корень уравнения — это значение буквы, при котором равенство становится верным. Здесь корень равен 7, потому что $7 + 8 = 15$ — верно.

Решить уравнение — значит найти его корень (или доказать, что корней нет).

Способ 1: подбор

Можно подставлять числа по очереди: $x = 5$ даёт $5 + 8 = 13$ — мало; $x = 7$ даёт $15$ — подходит. Подбор хорош для маленьких чисел, но в уравнении $x + 38 = 91$ им пользоваться долго. Нужен надёжный способ.

Способ 2: связь между компонентами действий

Вспомним: в сложении и вычитании числа связаны. Из равенства $7 + 8 = 15$ следуют $15 - 8 = 7$ и $15 - 7 = 8$. Эта связь даёт три правила.

Все три правила легко запомнить через «целое и части»:

• в сумме целое — это сумма, а части — слагаемые;
• в разности целое — это уменьшаемое, а части — вычитаемое и разность.

Тогда: неизвестную часть находят вычитанием (из целого вычитают известную часть), а неизвестное целое — сложением частей.

Как записывать решение

Решение уравнения оформляют так:

$\begin{aligned} x + 8 &= 15 \\ x &= 15 - 8 \\ x &= 7 \end{aligned}$

И обязательно делают проверку: подставляют найденное число в исходное уравнение.

Проверка: $7 + 8 = 15$, $15 = 15$ — верно.

Ответ: $x = 7$.

Разобранный пример 1

Решите уравнение $x - 24 = 38$.

1. Неизвестно уменьшаемое — это «целое». Целое находим сложением частей: $x = 38 + 24$.
2. $38 + 24 = 62$, значит $x = 62$.
3. Проверка: $62 - 24 = 38$, $38 = 38$ — верно.

Ответ: $x = 62$.

Разобранный пример 2

Решите уравнение $70 - x = 45$.

1. Неизвестно вычитаемое — это «часть». Часть находим вычитанием: из уменьшаемого (целого) вычитаем разность (другую часть): $x = 70 - 45$.
2. $70 - 45 = 25$.
3. Проверка: $70 - 25 = 45$ — верно.

Ответ: $x = 25$.

Уравнения, где сначала нужно упростить

Иногда в уравнении одна из частей — выражение, которое можно сразу вычислить:

$x + 15 = 40 + 8.$

Сначала найдём значение правой части: $40 + 8 = 48$. Получится знакомое уравнение $x + 15 = 48$, откуда $x = 48 - 15 = 33$. Проверка: $33 + 15 = 48$ и $40 + 8 = 48$ — обе части равны.

Подсказка: если в уравнении много чисел, сначала упростите всё, что можно посчитать, — и останется уравнение в одно действие.

Почему проверка так важна

Проверка — это не формальность. Она позволяет самому убедиться, что ответ верен, без учителя и без ответов в конце учебника. Подставьте найденное число вместо буквы и вычислите левую и правую части. Если получилось одинаковое число — корень найден верно. Если нет — ищите ошибку: чаще всего перепутано действие (сложение вместо вычитания или наоборот).

Уравнение в задаче

Задача. В коробке было несколько карандашей. Положили ещё 9, и стало 23. Сколько карандашей было?

1. Обозначим неизвестное: было $x$ карандашей.
2. Составим уравнение по условию: $x + 9 = 23$.
3. Решим: $x = 23 - 9 = 14$.
4. Проверка: $14 + 9 = 23$ — верно. И по смыслу: 14 карандашей и ещё 9 — это 23.

Ответ: 14 карандашей.

История вопроса

Задачи «найди неизвестное число» решали ещё в Древнем Египте почти четыре тысячи лет назад: в папирусе Ахмеса неизвестное называли словом «аха» — «куча». А обозначать неизвестное буквой $x$ придумал французский математик Рене Декарт в XVII веке. С тех пор «икс» стал символом всего неизвестного — даже за пределами математики.

Типичные ошибки

• В уравнении $x - 6 = 9$ вычитать: $x = 9 - 6 = 3$. Но $3 - 6$ не равно 9! Неизвестное уменьшаемое — это целое, его находят сложением.
• В уравнении $12 - x = 5$ прибавлять: $x = 12 + 5$. Неизвестное вычитаемое — часть, её находят вычитанием.
• Не делать проверку. Подстановка корня в уравнение сразу показывает ошибку.
• Писать ответ без буквы: «7». Правильно — «$x = 7$».

Что дальше

• Буквенные выражения и уравнения — в 5 классе уравнения станут сложнее: с умножением, делением и несколькими действиями, например $3x + 5 = 20$.