Буквенные выражения и уравнения

Зачем это нужно

Стоимость покупки, площадь участка, путь автомобиля — всё это считается по одним и тем же правилам, только числа меняются. Чтобы записать правило один раз для всех случаев, вместо чисел используют буквы. Так появляются буквенные выражения и формулы.

А если в задаче что-то неизвестно, его тоже обозначают буквой и составляют уравнение. В 5 классе уравнения становятся «многоэтажными»: $3x + 5 = 20$, $(x - 7) \cdot 4 = 36$. Научившись их решать, вы освоите главный приём алгебры — шаг за шагом «распаковывать» неизвестное.

Числовые и буквенные выражения

Числовое выражение состоит из чисел, знаков действий и скобок: $15 + 3 \cdot 4$. Если выполнить действия, получится значение выражения: 27.

Буквенное выражение содержит буквы: $3a + 5$, $2(m + n)$. Буква обозначает число, которое может меняться, — её называют переменной. Чтобы найти значение буквенного выражения, нужно подставить вместо букв числа:

при $a = 4$: $3a + 5 = 3 \cdot 4 + 5 = 17$; при $a = 10$: $3 \cdot 10 + 5 = 35$.

Договорённости записи: знак умножения между числом и буквой и между буквами не пишут: $3a = 3 \cdot a$, $ab = a \cdot b$; но между числами его пишут обязательно: $3 \cdot 4$, а не $34$.

Формулы

Формула — это равенство, которое показывает, как одна величина вычисляется через другие:

Буквенная запись делает правило точным и коротким. Сравните: «чтобы найти периметр прямоугольника, нужно сложить длину и ширину и результат умножить на два» и $P = 2(a + b)$.

Уравнение и его корень

Уравнение — равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Корень уравнения — значение буквы, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство. Решить уравнение — найти все его корни (или убедиться, что их нет).

Как решать уравнения в несколько действий

Главная идея: выражение с неизвестным рассматривают как один компонент действия и находят его по известным правилам.

Разобранный пример 1

Решите уравнение $3x + 5 = 20$.

1. Смотрим на последнее действие в левой части — сложение. Неизвестно слагаемое $3x$: $3x = 20 - 5$, $3x = 15$.
2. Теперь неизвестен множитель: $x = 15 : 3$, $x = 5$.
3. Проверка: $3 \cdot 5 + 5 = 15 + 5 = 20$. Верно.

Ответ: $x = 5$.

Разобранный пример 2

Решите уравнение $(x - 7) \cdot 4 = 36$.

1. Последнее действие — умножение; неизвестен множитель $(x - 7)$: $x - 7 = 36 : 4 = 9$.
2. Неизвестно уменьшаемое: $x = 9 + 7 = 16$.
3. Проверка: $(16 - 7) \cdot 4 = 9 \cdot 4 = 36$. Верно.

Ответ: $x = 16$.

Уравнения с упрощением

Если неизвестное входит в уравнение несколько раз, сначала упрощают левую часть с помощью распределительного свойства.

Разобранный пример 3

Решите уравнение $5y + 3y = 64$.

1. $5y + 3y = 8y$, уравнение принимает вид $8y = 64$.
2. $y = 64 : 8 = 8$.
3. Проверка: $5 \cdot 8 + 3 \cdot 8 = 40 + 24 = 64$. Верно.

Ответ: $y = 8$.

Задачи с помощью уравнений

1. Обозначьте буквой неизвестное (обычно то, что спрашивают, или меньшую величину).
2. Выразите остальные величины через эту букву.
3. Составьте уравнение по условию.
4. Решите его и сделайте проверку по смыслу задачи.

Разобранный пример 4

Задача. В двух коробках 64 карандаша, во второй в 3 раза больше, чем в первой. Сколько карандашей в каждой коробке?

1. Пусть в первой коробке $x$ карандашей, тогда во второй $3x$.
2. Всего: $x + 3x = 64$, то есть $4x = 64$.
3. $x = 16$; во второй — $3 \cdot 16 = 48$.
4. Проверка: $16 + 48 = 64$, и $48 : 16 = 3$ — оба условия выполнены.

Ответ: 16 и 48 карандашей.

Как проверить себя без ответов

Проверка уравнения — это подстановка корня в исходное уравнение, а не в промежуточное. Если ошибка закралась на первом шаге, промежуточные уравнения тоже будут неверными, и проверка по ним ничего не покажет. Поэтому всегда возвращайтесь к самой первой записи.

Типичные ошибки

• Начинать «распаковку» не с последнего действия: в $3x + 5 = 20$ сначала делить 20 на 3.
• Путать правила: неизвестное уменьшаемое находить вычитанием.
• Писать $3 \cdot 4$ как $34$ при подстановке чисел.
• Складывать неподобные слагаемые: $5y + 3 = 8y$.
• Забывать проверку — а она мгновенно показывает ошибку.

Что дальше

• Решение уравнений. Раскрытие скобок и подобные слагаемые — в 6 классе появятся отрицательные числа, раскрытие скобок и перенос слагаемых из одной части уравнения в другую — универсальный способ решения линейных уравнений.