Числовые выражения и порядок действий

Зачем это нужно

Задача часто решается не одним действием, а несколькими: «было, потом пришли, потом ушли». Такое решение удобно записать одной строкой — выражением. Но тогда важно договориться, в каком порядке выполнять действия: от этого зависит ответ.

Правила порядка действий одинаковы во всём мире. Их знают и калькуляторы, и программисты, и математики. Освоив их сейчас на сложении и вычитании, вы без труда добавите к ним умножение и деление.

Что такое числовое выражение

Числовое выражение — это запись из чисел, знаков действий и, возможно, скобок. Например: $40 + 5$, $70 - 20 + 6$, $90 - (30 + 15)$.

Если выполнить все действия, получится число — значение выражения. Значение выражения $70 - 20 + 6$ равно 56.

Сама запись «$40 + 5 = 45$» — уже не выражение, а равенство: в ней есть знак «=». А выражения $40 + 5$ и $45$ — это левая и правая части равенства.

Выражения читают по последнему действию: $40 + 5$ — «сумма чисел 40 и 5»; $70 - 20$ — «разность чисел 70 и 20».

Порядок действий без скобок

Правило 1. Если в выражении без скобок есть только сложение и вычитание, действия выполняют по порядку слева направо.

$70 - 20 + 6 = 50 + 6 = 56.$

Сначала $70 - 20 = 50$, потом $50 + 6 = 56$. Если бы мы начали с конца ($20 + 6 = 26$, $70 - 26 = 44$), получили бы неверный ответ 44.

Удобно над знаками действий ставить номера: 1, 2, 3 — и выполнять их строго по номерам.

Порядок действий со скобками

Правило 2. Если в выражении есть скобки, сначала выполняют действия в скобках, а затем — остальные, слева направо.

$90 - (30 + 15) = 90 - 45 = 45.$

Скобки как бы говорят: «Это одно целое, посчитай меня первым». Сравните два выражения с одинаковыми числами:

Скобки меняют смысл. Первое выражение описывает: «было 90, убрали 30, добавили 15». Второе — «было 90, убрали сразу 30 и ещё 15».

Разобранный пример 1

Найдите значение выражения $64 - (20 - 6) + 8$.

1. Расставим порядок: сначала скобки (1), затем слева направо вычитание (2) и сложение (3).
2. (1) $20 - 6 = 14$.
3. (2) $64 - 14 = 50$.
4. (3) $50 + 8 = 58$.

Ответ: 58.

Сравнение выражений

Чтобы сравнить два выражения, находят их значения и сравнивают числа:

$35 + 12 = 47$, а $50 - 4 = 46$. Так как $47 > 46$, то $35 + 12 > 50 - 4$.

Иногда можно обойтись без вычислений, если рассуждать:

• $38 + 7$ и $38 + 9$: первое слагаемое одинаковое, а второе во втором выражении больше — значит, $38 + 7 < 38 + 9$.
• $60 - 15$ и $60 - 25$: из одного и того же числа во втором случае вычитают больше — значит, $60 - 15 > 60 - 25$.

Выражение и задача

Решение задачи в несколько действий можно записать одним выражением.

Разобранный пример 2

Задача. В автобусе было 34 пассажира. На остановке 12 вышли и 9 вошли. Сколько пассажиров стало?

1. Было 34, вышли 12: $34 - 12$.
2. Потом вошли 9: $(34 - 12) + 9$. Скобки здесь можно не писать — по правилу слева направо порядок будет тот же: $34 - 12 + 9$.
3. Считаем: $34 - 12 = 22$, $22 + 9 = 31$.
4. Проверка по смыслу: вышли 12, вошли 9 — стало на 3 меньше, чем было: $34 - 3 = 31$. Совпало.

Ответ: 31 пассажир.

Зачем нужны скобки в жизни

Скобки помогают записать то, что мы делаем «одним блоком». Например, мама купила хлеб за 35 рублей и молоко за 48 рублей и заплатила сотней. Сдачу можно посчитать двумя способами: $100 - 35 - 48$ (отдать сначала за хлеб, потом за молоко) или $100 - (35 + 48)$ (сначала узнать стоимость покупки). Ответ одинаковый — 17 рублей, но второе выражение точнее отражает, как считает кассир: сначала сумма покупки, потом сдача.

Так бывает не всегда: в задаче про автобус выражения $34 - 12 + 9$ и $34 - (12 + 9)$ дают разные ответы, потому что описывают разные ситуации. Перед тем как ставить или убирать скобки, всегда спрашивайте себя: что сначала происходит в задаче?

Выражения с буквой

Иногда одно из чисел неизвестно или может меняться. Тогда вместо него пишут букву: $a + 5$, $20 - c$. Это буквенное выражение (выражение с переменной).

Если подставить вместо буквы число, получится обычное числовое выражение. Например, при $a = 7$ значение $a + 5$ равно $7 + 5 = 12$, а при $a = 30$ оно равно 35.

Буквенные выражения — мост к уравнениям и к алгебре, которую вы будете изучать в 7 классе.

Типичные ошибки

• Выполнять действия не слева направо, а «как удобнее»: $70 - 20 + 6 = 70 - 26 = 44$ — неверно.
• Забывать про скобки и считать $90 - (30 + 15)$ как $90 - 30 + 15$.
• Путать выражение и равенство: выражение — это запись без знака «=».
• Подставлять число вместо буквы, но забывать про остальные действия: при $c = 8$ в выражении $20 - c + 3$ ответ 15, а не 12.

Что дальше

• Простейшие уравнения — если про выражение с буквой известно его значение, получится уравнение; научимся находить неизвестное.
• Текстовые задачи на отношения «больше/меньше на… и в…» — составные задачи удобно решать выражениями.