Доли и дроби. Знакомство

Зачем это нужно

Разрезали пиццу на 8 кусков и съели 3. Какая часть пиццы съедена? Купили полкило яблок, четверть часа ждали автобус, прошли треть пути. Чтобы говорить о частях целого, людям понадобились новые числа — доли и дроби.

Дроби — одна из самых важных тем всей школьной математики. В 5–6 классе вы научитесь их складывать, умножать и делить, а дальше дроби будут встречаться повсюду: в процентах, вероятностях, формулах физики. Сейчас — первое знакомство.

Что такое доля

Если разделить целое на равные части, каждая часть называется долей.

• Разделили яблоко на 2 равные части — каждая часть называется половиной, или одной второй. Пишут $\dfrac{1}{2}$.
• На 3 равные части — треть, $\dfrac{1}{3}$.
• На 4 равные части — четверть, $\dfrac{1}{4}$.
• На 5 частей — одна пятая, $\dfrac{1}{5}$; на 10 — одна десятая, $\dfrac{1}{10}$.

Нижнее число показывает, на сколько равных частей разделили целое. Слово «равные» здесь главное: если разрезать торт на неравные куски, это уже не доли.

Сравнение долей

Посмотрите на картинку: половина больше трети, а треть больше четверти. Чем на большее число частей делят целое, тем меньше каждая часть:

$\frac{1}{2} > \frac{1}{3} > \frac{1}{4} > \frac{1}{5} > \dots$

Это легко проверить в жизни: если одну шоколадку делить на двоих, каждому достанется больше, чем если делить её на четверых.

Важно: сравнивать доли так можно только у одного и того же целого. Половина маленького яблока может оказаться меньше четверти большого арбуза.

Дроби

Если взять несколько одинаковых долей, получится дробь. Пиццу разрезали на 8 равных кусков и съели 3. Съели три восьмых: $\dfrac{3}{8}$.

$\frac{3}{8} \quad\begin{array}{l}\leftarrow \text{числитель: сколько долей взяли} \\ \leftarrow \text{знаменатель: на сколько долей разделили}\end{array}$

• Знаменатель (снизу) — на сколько равных частей разделили целое.
• Числитель (сверху) — сколько таких частей взяли.

Если взять все доли, получится целое: $\dfrac{8}{8}$ пиццы — это вся пицца.

Как найти долю числа

Задача. В классе 24 ученика, треть из них занимается в спортивной секции. Сколько это учеников?

Найти треть — значит разделить на 3 равные части и взять одну:

$24 : 3 = 8.$

Правило: чтобы найти долю числа, нужно разделить число на знаменатель доли.

$\frac{1}{4} \text{ от } 20 = 20 : 4 = 5, \qquad \frac{1}{10} \text{ от } 70 = 70 : 10 = 7.$

Разобранный пример 1

Найдите $\dfrac{3}{4}$ от 20.

1. Сначала одна четверть: $20 : 4 = 5$.
2. Три четверти — в три раза больше: $5 \cdot 3 = 15$.
3. Проверка на рисунке: 20 кружков в 4 рядах по 5; три ряда — 15 кружков.

Ответ: 15.

Как найти число по доле

Обратная задача. В коробке лежат карандаши. Пятая часть карандашей — красные, их 6. Сколько всего карандашей?

Если одна пятая — это 6, то все пять пятых в 5 раз больше:

$6 \cdot 5 = 30.$

Правило: чтобы найти число по его доле, нужно значение доли умножить на знаменатель.

Разобранный пример 2

Задача. Мальчик прошёл $\dfrac{1}{3}$ пути — 4 км. Какова длина всего пути?

1. Одна треть пути — 4 км.
2. Весь путь — три трети: $4 \cdot 3 = 12$ км.
3. Проверка: $\dfrac{1}{3}$ от 12 — это $12 : 3 = 4$ км. Совпало.

Ответ: 12 км.

Доли вокруг нас

Доли на числовом луче

Доли можно показать и на отрезке. Возьмите отрезок длиной 12 см и разделите его на 4 равные части по 3 см: каждая часть — $\frac{1}{4}$ отрезка. Отметьте на отрезке точку через 3 части от начала — до неё $\frac{3}{4}$ длины, то есть 9 см. Такое изображение пригодится в 5 классе, когда дроби появятся на координатном луче рядом с натуральными числами.

Типичные ошибки

• Называть долями неравные части. Доля — это всегда равная часть целого.
• Думать, что $\dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{2}$, потому что $4 > 2$. Чем больше знаменатель, тем меньше доля.
• Путать два правила: чтобы найти долю числа, делят; чтобы найти число по доле, умножают.
• Путать числитель и знаменатель: в $\dfrac{3}{8}$ целое разделили на 8 частей, а не на 3.

Что дальше

• Обыкновенные дроби — в 5 классе дроби станут полноценными числами: научимся их сравнивать, сокращать, складывать и отмечать на числовой прямой.