Смысл умножения и деления

Зачем это нужно

Посчитайте, сколько колёс у пяти велосипедов: $2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10$. А у двадцати велосипедов? Складывать двадцать двоек долго и скучно. Для таких случаев есть новое действие — умножение. А обратное ему действие — деление — отвечает на вопросы «поровну раздать» и «сколько раз поместится».

Умножение и деление — следующий шаг после сложения и вычитания. На них построены таблица умножения, дроби, площадь, скорость, цена и количество — почти вся математика начальной и средней школы.

Умножение — сложение одинаковых слагаемых

Если все слагаемые одинаковые, сумму можно записать короче — умножением:

$2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 \cdot 5 = 10.$

Запись $2 \cdot 5$ читают «два умножить на пять». Первое число (2) показывает, какое слагаемое повторяется, второе (5) — сколько раз.

Названия чисел при умножении:

Числа, которые умножают, — множители, результат — произведение. Выражение $2 \cdot 5$ тоже называют произведением.

Не всякую сумму можно заменить произведением: $3 + 4 + 3$ — нельзя, слагаемые разные.

Переместительное свойство умножения

Расставим 12 стульев в 3 ряда по 4 стула. Сколько всего стульев? Можно считать по рядам: $4 + 4 + 4 = 4 \cdot 3 = 12$. А можно по столбцам: 4 столбца по 3 стула, $3 \cdot 4 = 12$. Стульев одинаково, значит:

$a \cdot b = b \cdot a.$

От перестановки множителей произведение не меняется. Это экономит силы: $2 \cdot 9$ удобнее считать как $9 + 9$, а не как девять двоек.

Умножение на 1 и на 0

• $a \cdot 1 = a$: одно слагаемое — само число. Например, $7 \cdot 1 = 7$.
• $1 \cdot a = a$: сумма из $a$ единиц равна $a$. Например, $1 \cdot 6 = 6$.
• $a \cdot 0 = 0$ и $0 \cdot a = 0$: если ничего не взяли или брали «ничего» несколько раз, получится 0. Например, $0 + 0 + 0 = 0 \cdot 3 = 0$.

Деление: два смысла

Деление отвечает на два разных вопроса.

Деление на равные части. 12 конфет раздали поровну 3 детям. Сколько конфет у каждого? Раздаём по одной по кругу, пока конфеты не кончатся: у каждого окажется 4. Записываем: $12 : 3 = 4$.

Деление по содержанию. 12 конфет разложили в пакетики по 3 конфеты. Сколько получилось пакетиков? Отсчитываем по 3: получилось 4 пакетика. Тоже $12 : 3 = 4$.

Запись одна, а вопросы разные: в первом случае мы знаем число частей и ищем, сколько в каждой, во втором — знаем, сколько в каждой, и ищем число частей.

Названия чисел при делении:

Разобранный пример 1

Задача. 15 тетрадей разложили в 5 стопок поровну. Сколько тетрадей в каждой стопке?

1. Известно число частей (5 стопок), ищем, сколько в каждой, — деление на равные части: $15 : 5$.
2. Подбираем: сколько по 5 раз нужно взять, чтобы получилось 15? $3 \cdot 5 = 15$. Значит, $15 : 5 = 3$.
3. Проверка: $3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15$. Верно.

Ответ: 3 тетради.

Связь умножения и деления

Умножение и деление — обратные действия, как сложение и вычитание. Из одного произведения получаются два деления:

$4 \cdot 3 = 12 \quad\Rightarrow\quad 12 : 3 = 4, \qquad 12 : 4 = 3.$

Правило: если произведение разделить на один множитель, получится другой множитель. Поэтому деление проверяют умножением: частное умножают на делитель — должно получиться делимое.

Отсюда и правила с единицей и нулём:

• $a : 1 = a$ и $a : a = 1$ (для $a \ne 0$);
• $0 : a = 0$ (для $a \ne 0$): ноль конфет на всех — каждому ничего;
• делить на ноль нельзя: нет числа, которое при умножении на 0 дало бы, например, 5.

Разобранный пример 2

Задача. У ребят 18 яблок. Каждому дали по 2 яблока. Сколько было ребят?

1. Известно, сколько у каждого (по 2), ищем число частей — деление по содержанию: $18 : 2$.
2. Какое число при умножении на 2 даёт 18? $9 \cdot 2 = 18$. Значит, $18 : 2 = 9$.
3. Проверка умножением: $9 \cdot 2 = 18$. Верно.

Ответ: 9 ребят.

Как выбрать действие

Типичные ошибки

• Заменять умножением сумму с разными слагаемыми.
• Путать, что означает каждый множитель в задаче: «3 пакета по 5» — это $5 \cdot 3$ (по 5, три раза), хотя ответ, благодаря переместительному свойству, тот же.
• Думать, что $5 \cdot 0 = 5$. На самом деле $5 \cdot 0 = 0$.
• Делить на ноль. Это действие не определено.
• Проверять деление делением. Проверяют умножением: частное · делитель = делимое.

Что дальше

• Таблица умножения — выучим все произведения однозначных чисел и связанные с ними случаи деления.
• Доли и дроби. Знакомство — разделив целое на равные части, получим доли: половину, треть, четверть.