Обыкновенные дроби

Зачем это нужно

Натуральных чисел не хватает, чтобы описать мир: стакан наполнен на две трети, урок длится три четверти часа, в рецепте — полстакана сахара. Чтобы точно записывать части целого, нужны дроби.

В начальной школе вы познакомились с долями. Теперь дроби становятся полноценными числами: их можно отмечать на координатном луче, сравнивать, складывать и умножать. Без дробей невозможны проценты, десятичные числа, вероятности, пропорции и почти вся физика.

Обыкновенная дробь

Запись вида $\dfrac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа, называют обыкновенной дробью.

• $b$ — знаменатель: на сколько равных частей (долей) разделили целое;
• $a$ — числитель: сколько таких долей взяли;
• черта дроби разделяет числитель и знаменатель.

$\dfrac{3}{5}$ (три пятых) — целое разделили на 5 равных частей и взяли 3.

Дробь на координатном луче

Чтобы отметить $\dfrac{3}{5}$ на луче, удобно взять единичный отрезок, который делится на 5 — например, 5 клеток. Каждая клетка — это $\dfrac{1}{5}$, а точка $\dfrac{3}{5}$ находится через 3 клетки от нуля.

Обратите внимание: $\dfrac{5}{5} = 1$, а точка $\dfrac{7}{5}$ лежит правее единицы.

Сравнение дробей

Дроби с одинаковыми знаменателями. Доли одинаковые, поэтому больше та дробь, у которой больше числитель:

$\frac{3}{7} < \frac{5}{7}.$

Дроби с одинаковыми числителями. Число долей одинаковое, а сами доли больше там, где знаменатель меньше:

$\frac{2}{3} > \frac{2}{5}, \quad\text{потому что}\quad \frac{1}{3} > \frac{1}{5}.$

Дроби с разными числителями и знаменателями научимся сравнивать в 6 классе, приводя их к общему знаменателю. Пока можно сравнивать с $\dfrac{1}{2}$ или с 1: $\dfrac{3}{8} < \dfrac{1}{2} < \dfrac{5}{9}$, потому что $3$ меньше половины от 8, а $5$ больше половины от 9.

Правильные и неправильные дроби

Правильная дробь — числитель меньше знаменателя: $\dfrac{3}{5}$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{99}{100}$. Правильная дробь всегда меньше 1.

Неправильная дробь — числитель больше или равен знаменателю: $\dfrac{7}{5}$, $\dfrac{4}{4}$, $\dfrac{12}{3}$. Неправильная дробь больше или равна 1.

Дробь и деление

Разделим 3 одинаковых пиццы поровну на 4 человек. Каждую пиццу разрежем на 4 части; каждому достанется по одной части от каждой пиццы — 3 части по $\dfrac{1}{4}$, то есть $\dfrac{3}{4}$ пиццы. Значит:

$3 : 4 = \frac{3}{4}.$

Черта дроби — это знак деления. Любое частное натуральных чисел можно записать дробью: $a : b = \dfrac{a}{b}$. И наоборот, $\dfrac{12}{3} = 12 : 3 = 4$.

Любое натуральное число можно записать дробью с любым знаменателем: $5 = \dfrac{5}{1} = \dfrac{10}{2} = \dfrac{15}{3}$.

Нахождение части от числа и числа по его части

Эти правила знакомы с 3 класса, теперь — с любыми дробями:

• Часть от числа: чтобы найти $\dfrac{a}{b}$ от числа, нужно разделить число на $b$ и умножить на $a$.
• Число по его части: если $\dfrac{a}{b}$ числа равны $m$, то число равно $m : a \cdot b$.

Разобранный пример 1

Найдите $\dfrac{3}{5}$ от 40.

1. $\dfrac{1}{5}$ от 40: $40 : 5 = 8$.
2. $\dfrac{3}{5}$: $8 \cdot 3 = 24$.
3. Проверка: $\dfrac{2}{5}$ от 40 — это 16, и $24 + 16 = 40$ — все пять пятых вместе дают целое.

Ответ: 24.

Разобранный пример 2

Туристы прошли $\dfrac{2}{7}$ маршрута — 18 км. Какова длина маршрута?

1. $\dfrac{1}{7}$ маршрута: $18 : 2 = 9$ км.
2. Весь маршрут: $9 \cdot 7 = 63$ км.
3. Проверка: $\dfrac{2}{7}$ от 63 — это $63 : 7 \cdot 2 = 18$ км. Верно.

Ответ: 63 км.

Немного истории

Дроби появились раньше, чем десятичная запись чисел. Древние египтяне пользовались почти только долями вида $\frac{1}{n}$ и записывали, например, $\frac{3}{4}$ как $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$. В Древнем Риме считали двенадцатыми долями, а привычную нам запись с горизонтальной чертой ввели арабские математики; в Европе она закрепилась в XIII веке.

Типичные ошибки

• Путать числитель и знаменатель: в $\dfrac{3}{5}$ целое разделили на 5 частей, а не на 3.
• Считать, что $\dfrac{2}{5} > \dfrac{2}{3}$, потому что $5 > 3$. При равных числителях больше та дробь, где знаменатель меньше.
• Думать, что неправильная дробь — это «ошибка». Это нормальное число, просто больше или равное 1.
• Путать два типа задач: часть от числа (делим, потом умножаем) и число по части (делим на числитель, умножаем на знаменатель).
• Забывать, что $\dfrac{a}{a} = 1$.

Что дальше

• Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Смешанные числа — научимся складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями и переводить неправильные дроби в смешанные числа.
• Десятичные дроби. Запись, сравнение, округление — дроби со знаменателями 10, 100, 1000 можно записывать по-особому — десятичной дробью.