Измерение углов. Транспортир

Зачем это нужно

В 4 классе мы сравнивали углы с прямым на глаз и угольником: острый, прямой, тупой. Но этого мало, когда нужно точно: строителю — какой наклон у крыши, штурману — на сколько повернуть курс, конструктору — под каким углом соединить детали. Углы, как и отрезки, нужно уметь измерять числом.

Единица измерения углов — градус, а инструмент — транспортир. В геометрии 7–9 класса почти каждая задача содержит углы в градусах: сумма углов треугольника, вертикальные и смежные углы, углы при параллельных прямых.

Градус

Развёрнутый угол разделили на 180 равных частей. Угол, равный одной такой части, называют углом в один градус и записывают $1^\circ$.

Тогда:

• развёрнутый угол равен $180^\circ$;
• прямой угол — половина развёрнутого — равен $90^\circ$;
• острый угол меньше $90^\circ$;
• тупой угол больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

Полный оборот (например, минутная стрелка за час) — $360^\circ$.

Транспортир

Транспортир — полукруг со шкалой от $0^\circ$ до $180^\circ$. Обычно на нём две шкалы: внешняя и внутренняя, идущие в противоположные стороны. В центре прямой стороны есть отметка — центр транспортира.

Как измерить угол

1. Совместите центр транспортира с вершиной угла.
2. Расположите транспортир так, чтобы одна сторона угла прошла через ноль шкалы.
3. Найдите, через какое деление проходит вторая сторона. Отсчитывайте по той шкале, на которой первая сторона показывает ноль.

Чтобы не перепутать шкалы, сначала оцените угол на глаз: если он острый, ответ меньше $90^\circ$ — например, $50^\circ$, а не $130^\circ$.

Если сторона угла слишком короткая и не доходит до шкалы, её продлевают карандашом — величина угла от этого не меняется.

Как построить угол заданной величины

Постройте угол $\angle ABC = 70^\circ$.

1. Проведите луч $BA$.
2. Совместите центр транспортира с точкой $B$, а линию $0^\circ$ — с лучом $BA$.
3. На той шкале, где луч $BA$ показывает 0, найдите отметку $70^\circ$ и поставьте точку $C$.
4. Проведите луч $BC$. Проверьте на глаз: угол острый — верно.

Биссектриса угла

Биссектриса — луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Биссектриса угла $80^\circ$ делит его на два угла по $40^\circ$.

Построить биссектрису можно транспортиром: измерьте угол, разделите на 2 и отложите половину от одной из сторон. (В 7 классе научимся строить биссектрису циркулем и линейкой — без измерения.)

Разобранный пример 1

Луч $OC$ лежит внутри угла $AOB = 130^\circ$, $\angle AOC = 85^\circ$. Найдите $\angle COB$.

1. Луч внутри угла делит его на два угла, сумма которых равна всему углу.
2. $\angle COB = 130^\circ - 85^\circ = 45^\circ$.
3. Проверка: $85^\circ + 45^\circ = 130^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

Разобранный пример 2

Какой угол образуют стрелки часов в 4:00?

1. Циферблат — полный оборот $360^\circ$, на нём 12 часовых делений: между соседними цифрами $360^\circ : 12 = 30^\circ$.
2. В 4:00 стрелки на 12 и на 4 — между ними 4 деления: $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.
3. Проверка: $120^\circ$ — тупой угол, это совпадает с тем, что мы знаем с 4 класса.

Ответ: $120^\circ$.

Треугольники и углы

Измерьте транспортиром углы любого треугольника и сложите — получится около $180^\circ$ (с небольшой погрешностью измерения). Это не случайность: сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$ — в 7 классе вы это докажете. Отсюда, например, следует, что у прямоугольного треугольника два других угла острые и вместе дают $90^\circ$.

Круговые диаграммы

Круг — это $360^\circ$. Чтобы показать на круговой диаграмме долю, нужно найти такую же долю от $360^\circ$: 25 % — это $360^\circ \cdot 0{,}25 = 90^\circ$, половина — $180^\circ$, 10 % — $36^\circ$.

Типичные ошибки

• Считывать угол не по той шкале: получить $130^\circ$ вместо $50^\circ$. Помогает оценка на глаз.
• Совмещать с вершиной край транспортира, а не центр.
• Не продлевать короткую сторону угла и «угадывать» отметку.
• Думать, что угол с длинными сторонами больше: величина угла не зависит от длины сторон.
• Путать биссектрису с медианой (медиана — для треугольника, о ней в 7 классе).

Что дальше

• Начальные геометрические сведения — в геометрии 7 класса углы, отрезки и их измерения станут основой доказательств.