Начальные геометрические сведения

Зачем это нужно

С 7 класса геометрия становится отдельным предметом — и меняется её характер. Раньше мы измеряли и вычисляли, а теперь будем доказывать: устанавливать истинность утверждений строгими рассуждениями, опираясь на небольшое число исходных фактов. Этому учит геометрия уже больше двух тысяч лет — со времён «Начал» Евклида.

Умение рассуждать логически, отличать доказанное от «очевидного на рисунке», аккуратно формулировать определения нужно не только в математике: так работают юристы, программисты, инженеры и учёные. А сами геометрические фигуры — точки, прямые, отрезки, углы — основа всех следующих тем.

Неопределяемые понятия и аксиомы

В геометрии некоторые понятия не определяют — они самые простые, через них определяют всё остальное: точка, прямая, плоскость. Их свойства описывают аксиомы — утверждения, принимаемые без доказательства. Например:

через любые две точки проходит прямая, и притом только одна;
на каждой прямой лежат по крайней мере две точки; есть точки, не лежащие на прямой.

Всё остальное — теоремы — доказывают, опираясь на аксиомы и уже доказанные теоремы.

Точки обозначают заглавными латинскими буквами ( $A$ , $B$ ), прямые — строчными ( $a$ , $b$ ) или двумя точками ( $AB$ ).

Прямая, отрезок, луч

Две прямые либо имеют одну общую точку (пересекаются), либо не имеют общих точек.
Отрезок $AB$ — часть прямой, состоящая из точек $A$ , $B$ и всех точек между ними. $A$ и $B$ — концы отрезка.
Луч $OA$ — часть прямой, состоящая из точки $O$ (начала луча) и всех точек по одну сторону от неё. Точка $O$ разбивает прямую на два луча — их называют дополнительными.

Прямая a, на ней отрезок AB, луч OC с началом O; отмечена середина M отрезка AB

Сравнение и измерение отрезков

Два отрезка равны, если их можно совместить наложением. Длину отрезка измеряют выбранной единицей (см, мм, м); равные отрезки имеют равные длины.

Свойство: если точка $C$ лежит на отрезке $AB$ , то $AB = AC + CB$ .

Середина отрезка — точка, делящая его на два равных отрезка.

Разобранный пример 1

Точка $C$ лежит на отрезке $AB$ , $AB = 12$ см, $AC$ на 4 см больше $CB$ . Найдите $AC$ и $CB$ .

Пусть $CB = x$ , тогда $AC = x + 4$ .
$AC + CB = AB$ : $x + 4 + x = 12$ , $x = 4$ .
$CB = 4$ см, $AC = 8$ см.
Проверка: $8 + 4 = 12$ , $8 - 4 = 4$ .

Ответ: 8 см и 4 см.

Угол

Угол — фигура из точки (вершины) и двух лучей (сторон), исходящих из неё. Обозначают $\angle AOB$ (вершина посередине) или $\angle O$ .

Если стороны — дополнительные лучи, угол развёрнутый; он равен $180^\circ$ .

Луч, выходящий из вершины и лежащий внутри угла, делит угол на два угла, и градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов: если луч $OC$ лежит внутри $\angle AOB$ , то $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$ .

Биссектриса угла — луч, исходящий из вершины и делящий угол на два равных угла.

Вид угла	Мера
острый	меньше $90^\circ$
прямой	$90^\circ$
тупой	больше $90^\circ$ , меньше $180^\circ$
развёрнутый	$180^\circ$

Разобранный пример 2

Луч $OC$ — биссектриса угла $AOB$ , луч $OD$ лежит внутри угла $AOC$ , $\angle AOB = 120^\circ$ , $\angle AOD = 25^\circ$ . Найдите $\angle DOC$ и $\angle DOB$ .

$\angle AOC = 120^\circ : 2 = 60^\circ$ (биссектриса).
$\angle DOC = \angle AOC - \angle AOD = 60^\circ - 25^\circ = 35^\circ$ .
$\angle DOB = \angle AOB - \angle AOD = 120^\circ - 25^\circ = 95^\circ$ .

Ответ: $35^\circ$ и $95^\circ$ .

Определение, теорема, доказательство

Определение объясняет смысл нового понятия через уже известные («биссектриса — это луч, который…»).
Теорема — утверждение, справедливость которого устанавливается рассуждением — доказательством.
В теореме выделяют условие (что дано) и заключение (что нужно доказать).

Главное правило геометрии: рисунок помогает думать, но ничего не доказывает. Если на чертеже отрезки «выглядят равными», это не значит, что они равны.

История вопроса

Около 300 года до н. э. древнегреческий математик Евклид собрал геометрические знания своего времени в книгу «Начала». Он начал с нескольких определений и пяти постулатов (аксиом) и вывел из них сотни теорем. Этот способ построения науки — от аксиом к теоремам — оказался настолько удачным, что «Начала» более двух тысяч лет служили учебником геометрии. В конце XIX века Давид Гильберт уточнил систему аксиом Евклида, сделав её полностью строгой.

Типичные ошибки

Обозначать угол так, что вершина не посередине: $\angle ABO$ вместо $\angle AOB$ .
Путать луч и отрезок: у луча один конец, у отрезка — два.
Считать «очевидные по рисунку» факты доказанными.
Складывать углы, не проверив, что луч лежит внутри угла.
Забывать единицы измерения в ответе.

Что дальше

Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые — первые теоремы: свойства смежных и вертикальных углов.
Площади многоугольников — в 8 классе от длин отрезков перейдём к площадям многоугольников.