Десятичные дроби. Запись, сравнение, округление

Зачем это нужно

Цена 49,90 рубля, температура 36,6°, рост 1,52 м, бег на 100 м за 12,4 секунды. Все эти числа — десятичные дроби. Это та же обыкновенная дробь, но со знаменателем 10, 100, 1000 и записанная особым удобным способом — через запятую.

Десятичные дроби — самые распространённые дробные числа в жизни: их показывают весы, термометры, калькуляторы, в них записывают цены и результаты измерений. С ними легко считать столбиком, почти как с натуральными числами.

Десятичная запись

Дроби со знаменателями 10, 100, 1000, … можно записать без черты:

$\frac{3}{10} = 0{,}3, \qquad \frac{47}{100} = 0{,}47, \qquad 5\frac{9}{1000} = 5{,}009.$

Читают: «ноль целых три десятых», «ноль целых сорок семь сотых», «пять целых девять тысячных».

• Слева от запятой — целая часть.
• Справа от запятой — дробная часть. Сколько цифр после запятой, столько нулей в знаменателе.

Поэтому $5\dfrac{9}{1000}$ записывают как 5,009: в знаменателе три нуля — после запятой три цифры, и перед 9 нужно дописать два нуля.

Разряды после запятой

Разряды продолжаются вправо от единиц, каждый следующий в 10 раз меньше:

$24{,}375 = 20 + 4 + \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{100} + \dfrac{5}{1000}$.

Удобно понимать десятичные дроби через единицы измерения: 1 дм = 0,1 м, 1 см = 0,01 м, 1 мм = 0,001 м. Поэтому 0,47 м — это 47 см, а 2,5 кг — это 2 кг 500 г.

Нули в конце дроби

Если приписать нули в конце десятичной дроби или убрать их оттуда, дробь не изменится:

$0{,}3 = 0{,}30 = 0{,}300, \qquad 7{,}50 = 7{,}5.$

Действительно, $\dfrac{3}{10} = \dfrac{30}{100}$: 3 десятых — это 30 сотых. А вот нули после запятой перед цифрами важны: $0{,}05 \ne 0{,}5$.

Сравнение десятичных дробей

1. Сравните целые части: больше та дробь, у которой больше целая часть. $3{,}01 > 2{,}99$.
2. Если целые части равны, уравняйте число знаков после запятой, приписав нули, и сравнивайте как натуральные числа:

$0{,}7 \;?\; 0{,}65 \quad\Rightarrow\quad 0{,}70 \;?\; 0{,}65 \quad\Rightarrow\quad 70 > 65 \quad\Rightarrow\quad 0{,}7 > 0{,}65.$

Можно и поразрядно: десятые с десятыми, затем сотые с сотыми — до первого различия.

Разобранный пример 1

Расположите в порядке возрастания: 0,5; 0,45; 0,505; 0,05.

1. Уравняем число знаков: 0,500; 0,450; 0,505; 0,050.
2. Сравним как натуральные: 50 < 450 < 500 < 505.
3. Ответ: 0,05; 0,45; 0,5; 0,505.

Десятичные дроби на координатном луче

Если единичный отрезок разделить на 10 частей, каждая часть — 0,1. Точка 0,7 — на седьмом делении. Между 0,7 и 0,8 можно поставить ещё 10 делений по 0,01: 0,71; 0,72; … Значит, между любыми двумя десятичными дробями всегда есть ещё дроби — в отличие от натуральных чисел.

Округление

Округляют десятичные дроби так же, как натуральные числа:

1. Отметьте разряд, до которого округляете.
2. Посмотрите на следующую цифру справа: если 0–4, цифру разряда оставьте, если 5–9 — увеличьте на 1.
3. Все цифры справа отбросьте (если они после запятой) — нули не пишут.

Разобранный пример 2

Округлите 3,4762 до десятых, до сотых и до целых.

1. До десятых: цифра десятых 4, следующая 7 ≥ 5 → 3,5.
2. До сотых: цифра сотых 7, следующая 6 ≥ 5 → 3,48.
3. До целых: цифра единиц 3, следующая 4 < 5 → 3.

Пишут: $3{,}4762 \approx 3{,}5$.

Особый случай: при округлении 2,97 до десятых получим 3,0 — нуль здесь пишут, он показывает точность «до десятых».

Откуда взялась запятая

Десятичные дроби придумали, чтобы считать с дробями так же легко, как с натуральными числами. Их подробно описал среднеазиатский математик ал-Каши в XV веке, а в Европе их распространил голландский инженер Симон Стевин в 1585 году. Запятую (в англоязычных странах — точку) стали ставить позже. Поэтому в калькуляторах и программах вместо запятой часто пишут точку: 2.5 означает то же, что 2,5.

Типичные ошибки

• Читать дробь неправильно: 0,05 как «ноль целых пять десятых». Две цифры после запятой — сотые: «пять сотых».
• Записывать $\dfrac{9}{1000}$ как 0,9 или 0,09. Сколько нулей в знаменателе — столько цифр после запятой: 0,009.
• Сравнивать «по длине»: считать, что $0{,}65 > 0{,}7$, потому что 65 > 7. Сначала уравниваем число знаков.
• При округлении десятичной дроби заменять отброшенные цифры нулями: 3,4762 ≈ 3,5000 — нули здесь лишние.
• Терять нули после запятой: 5,009 записывать как 5,9.

Что дальше

• Действия с десятичными дробями — научимся складывать, вычитать, умножать и делить десятичные дроби.