Действия с десятичными дробями

Зачем это нужно

В магазине: 3 пачки по 45,90 рубля — сколько платить? Сдача со 200 рублей? Сколько стоит 1 кг, если 0,4 кг стоят 86 рублей? Без действий с десятичными дробями не обойтись ни в покупках, ни в физике, ни в черчении.

Хорошая новость: десятичные дроби складывают, вычитают, умножают и делят почти как натуральные числа — столбиком. Нужно лишь правильно обращаться с запятой. Этим правилам и посвящена тема.

Сложение и вычитание

Правило: записываем числа столбиком так, чтобы запятая стояла под запятой (разряд под разрядом), уравниваем число знаков нулями и действуем как с натуральными числами. В ответе ставим запятую под запятыми.

$\begin{array}{r} 12{,}70 \\ +\;\;3{,}45 \\ \hline 16{,}15 \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{r} 8{,}00 \\ -\;\;2{,}37 \\ \hline 5{,}63 \end{array}$

Целое число пишут с запятой и нулями: $8 = 8{,}00$.

Умножение и деление на 10, 100, 1000

• Умножить на 10, 100, 1000 — перенести запятую вправо на 1, 2, 3 знака: $3{,}275 \cdot 100 = 327{,}5$.
• Разделить на 10, 100, 1000 — перенести запятую влево: $3{,}2 : 100 = 0{,}032$ (недостающие цифры заполняем нулями).

Умножение на 0,1; 0,01; 0,001 — то же, что деление на 10, 100, 1000: $45 \cdot 0{,}01 = 0{,}45$.

Умножение десятичных дробей

Правило: перемножаем, не обращая внимания на запятые, как натуральные числа; затем отделяем запятой справа столько цифр, сколько их после запятой в обоих множителях вместе.

Разобранный пример 1

Вычислите $2{,}4 \cdot 0{,}35$.

1. Без запятых: $24 \cdot 35 = 840$.
2. После запятой в множителях: 1 + 2 = 3 знака.
3. Отделяем три цифры справа: 0,840 = 0,84.
4. Прикидка: $2{,}4 \cdot 0{,}35 \approx 2 \cdot 0{,}4 = 0{,}8$ — близко.

Ответ: 0,84.

Почему так? $2{,}4 = \dfrac{24}{10}$, $0{,}35 = \dfrac{35}{100}$, их произведение $\dfrac{24 \cdot 35}{1000}$ — в знаменателе 1000, три знака.

Деление на натуральное число

Правило: делим уголком, как натуральные числа; запятую в частном ставим, когда закончилось деление целой части.

Разобранный пример 2

Вычислите $9{,}36 : 4$.

1. $9 : 4 = 2$ (ост. 1) — целая часть кончилась, ставим в частном запятую: «2,».
2. Сносим 3: $13 : 4 = 3$ (ост. 1). Сносим 6: $16 : 4 = 4$.
3. Частное 2,34. Проверка: $2{,}34 \cdot 4 = 9{,}36$. Верно.

Если деление не закончилось, а цифры кончились, приписываем к делимому нули: $3 : 8 = 3{,}000 : 8 = 0{,}375$.

Деление на десятичную дробь

Правило: переносим запятую в делителе и делимом вправо на одинаковое число знаков — так, чтобы делитель стал натуральным, — и делим на натуральное число.

Частное от этого не меняется: мы просто умножили делимое и делитель на одно и то же число (10, 100, …).

Разобранный пример 3

Вычислите $0{,}864 : 0{,}24$.

1. В делителе два знака после запятой — переносим запятую на 2 знака вправо в обоих числах: $86{,}4 : 24$.
2. $86 : 24 = 3$ (ост. 14) — ставим запятую; $144 : 24 = 6$. Частное 3,6.
3. Проверка: $3{,}6 \cdot 0{,}24 = 0{,}864$. Верно.

Ответ: 3,6.

Порядок действий и прикидка

Порядок действий тот же, что для натуральных чисел. А прикидка особенно важна: она ловит ошибку с запятой. Если $2{,}4 \cdot 0{,}35$ получилось 8,4 — это в 10 раз больше прикидки 0,8, значит запятая не на месте.

Полезно помнить: умножение на число меньше 1 уменьшает число ($50 \cdot 0{,}4 = 20$), а деление на число меньше 1 — увеличивает ($2 : 0{,}5 = 4$).

Разобранный пример 4 (задача)

0,4 кг конфет стоят 86 рублей. Сколько стоит 1 кг?

1. Цена 1 кг — это $86 : 0{,}4 = 860 : 4 = 215$ рублей.
2. Проверка: $215 \cdot 0{,}4 = 86$. Верно. И по смыслу: 1 кг больше 0,4 кг, цена выше.

Ответ: 215 рублей.

Почему при умножении считают знаки

Умножение десятичных дробей легко объяснить через обыкновенные. $0{,}3 = \frac{3}{10}$, $0{,}02 = \frac{2}{100}$. Их произведение — это 6 частей, каждая из которых в $10 \cdot 100 = 1\,000$ раз меньше единицы: $\frac{6}{1000} = 0{,}006$. Знаменатели перемножились — нули сложились: 1 + 2 = 3 знака после запятой. Отсюда и правило.

Типичные ошибки

• В сложении столбиком выравнивать числа по правому краю, а не по запятой: $12{,}7 + 3{,}45$ записать со сдвигом.
• В умножении ставить запятую «под запятыми», как при сложении. При умножении запятые не выравнивают — считают знаки.
• В делении на десятичную дробь переносить запятую только в делителе.
• Забывать ставить запятую в частном, когда кончилась целая часть делимого.
• Терять нули: $3{,}2 : 100 = 0{,}32$ вместо 0,032.

Что дальше

• Проценты — процент — это сотая часть, а задачи на проценты решаются умножением и делением десятичных дробей.
• Среднее арифметическое — среднее арифметическое почти всегда получается десятичной дробью.