Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Смешанные числа

Зачем это нужно

Утром съели $\dfrac{3}{8}$ пирога, вечером — ещё $\dfrac{2}{8}$. Какая часть пирога съедена? Сколько осталось? В рецепте нужно $2\dfrac{1}{4}$ стакана муки — это сколько четвертей? Такие вопросы решаются действиями с дробями.

В этой теме — самый простой случай: дроби с одинаковыми знаменателями. Он важен сам по себе и потому, что любые дроби мы будем приводить к одинаковым знаменателям в 6 классе. А ещё здесь появляются смешанные числа — привычная в жизни запись вроде «два с половиной».

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Если доли одинаковые, их можно просто считать, как предметы: 3 восьмых и 2 восьмых — это 5 восьмых.

$\frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3 + 2}{8} = \frac{5}{8}.$

Правило. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же:

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}.$

Знаменатель не складывают: доли не стали мельче, их просто стало больше. Ошибка $\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{16}$ — самая частая; посмотрите на картинку, чтобы убедиться, что пять восьмых — это не пять шестнадцатых.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Аналогично, если из 7 девятых убрать 4 девятых, останется 3 девятых:

$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}, \qquad \frac{7}{9} - \frac{4}{9} = \frac{3}{9}.$

Особый случай — вычитание из единицы. Единицу записывают дробью с тем же знаменателем: $1 = \dfrac{8}{8}$. Тогда

$1 - \frac{3}{8} = \frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}.$

Разобранный пример 1

Утром съели $\dfrac{3}{8}$ пирога, вечером $\dfrac{2}{8}$. Какая часть пирога осталась?

1. Съели всего: $\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{8}$.
2. Осталось: $1 - \dfrac{5}{8} = \dfrac{8}{8} - \dfrac{5}{8} = \dfrac{3}{8}$.
3. Проверка: $\dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{8}{8} = 1$ — весь пирог.

Ответ: $\dfrac{3}{8}$ пирога.

Смешанные числа

Что делать, если сумма получилась больше единицы, например $\dfrac{7}{5}$? Это 5 пятых (целое) и ещё 2 пятых. Пишут:

$\frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$

и читают «одна целая две пятых». Число вида $1\dfrac{2}{5}$ называют смешанным: у него есть целая часть (1) и дробная часть ($\dfrac{2}{5}$, обязательно правильная дробь). Смешанное число — это сумма: $1\dfrac{2}{5} = 1 + \dfrac{2}{5}$.

Выделение целой части

Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель с остатком: неполное частное — целая часть, остаток — числитель дробной части, знаменатель тот же.

$\frac{23}{4}: \quad 23 : 4 = 5 \text{ (ост. 3)} \quad\Rightarrow\quad \frac{23}{4} = 5\frac{3}{4}.$

Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Чтобы записать смешанное число неправильной дробью, нужно целую часть умножить на знаменатель и прибавить числитель; знаменатель оставить тем же.

$3\frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{23}{7}.$

Смысл простой: в 3 целых по 7 седьмых — 21 седьмая, да ещё 2 — итого 23 седьмых.

Сложение и вычитание смешанных чисел

Складывают отдельно целые части и отдельно дробные:

$2\frac{3}{9} + 1\frac{4}{9} = (2 + 1) + \left(\frac{3}{9} + \frac{4}{9}\right) = 3\frac{7}{9}.$

Если дробная часть получилась неправильной — выделяем из неё целую часть:

$1\frac{4}{5} + 2\frac{3}{5} = 3\frac{7}{5} = 3 + 1\frac{2}{5} = 4\frac{2}{5}.$

Разобранный пример 2 (вычитание с «заёмом»)

Вычислите $5\dfrac{1}{6} - 2\dfrac{5}{6}$.

1. Из $\dfrac{1}{6}$ нельзя вычесть $\dfrac{5}{6}$. «Займём» единицу у целой части: $5\dfrac{1}{6} = 4 + 1 + \dfrac{1}{6} = 4\dfrac{7}{6}$.
2. Теперь вычитаем: $4\dfrac{7}{6} - 2\dfrac{5}{6} = 2\dfrac{2}{6}$.
3. Проверка сложением: $2\dfrac{2}{6} + 2\dfrac{5}{6} = 4\dfrac{7}{6} = 5\dfrac{1}{6}$. Верно.

Ответ: $2\dfrac{2}{6}$ (в 6 классе научимся записывать его короче — $2\dfrac{1}{3}$).

Другой способ — перевести оба числа в неправильные дроби: $\dfrac{31}{6} - \dfrac{17}{6} = \dfrac{14}{6} = 2\dfrac{2}{6}$. Ответ тот же.

Дроби на координатном луче

Сложение дробей хорошо видно на луче. Возьмём единичный отрезок из 8 клеток: каждая клетка — $\frac{1}{8}$. Чтобы прибавить к $\frac{3}{8}$ дробь $\frac{2}{8}$, сделаем от точки $\frac{3}{8}$ два шага по одной клетке вправо — попадём в $\frac{5}{8}$. Вычитание — шаги влево. Если шагать дальше единицы, попадём в точки $\frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$, $\frac{10}{8} = 1\frac{2}{8}$ и так далее: так становится наглядно, что неправильная дробь и смешанное число — это одна и та же точка луча.

Смешанные числа в жизни

Смешанные числа удобны, когда нужно сразу видеть, сколько целых: «$2\frac{1}{2}$ часа» понятнее, чем «$\frac{5}{2}$ часа», а «$1\frac{1}{4}$ стакана» — чем «$\frac{5}{4}$ стакана». Зато для вычислений, особенно для умножения и деления в 6 классе, удобнее неправильные дроби. Поэтому важно уверенно переходить от одной записи к другой в обе стороны.

Проверка ответа

Ответ в действиях с дробями легко проверить обратным действием, как и с натуральными числами: сумму — вычитанием, разность — сложением. Ещё одна полезная проверка — прикидка по целым частям: $2\frac{3}{9} + 1\frac{4}{9}$ должно быть больше $2 + 1 = 3$, но меньше $3 + 2 = 5$.

Типичные ошибки

• Складывать знаменатели: $\dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{16}$. Знаменатель остаётся прежним.
• При выделении целой части путать частное и остаток: $\dfrac{23}{4} = 3\dfrac{5}{4}$.
• При переводе в неправильную дробь забывать прибавить числитель: $3\dfrac{2}{7} = \dfrac{21}{7}$.
• Оставлять в ответе смешанное число с неправильной дробной частью: $3\dfrac{7}{5}$ нужно записать как $4\dfrac{2}{5}$.
• При вычитании смешанных чисел вычитать «наоборот»: $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{6}$ вместо заёма единицы.

Что дальше

• Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями — научимся приводить дроби к общему знаменателю и складывать любые дроби.