Среднее арифметическое

Зачем это нужно

Какая средняя температура в мае? Какой средний балл у ученика в четверти? С какой средней скоростью ехал автобус? Сколько в среднем стоит буханка хлеба в разных магазинах? Когда значений много, их удобно заменить одним числом, которое показывает «типичный уровень». Чаще всего для этого используют среднее арифметическое.

Среднее — главное понятие статистики. В 7 классе в курсе «Вероятность и статистика» вы познакомитесь с другими средними — медианой и модой — и узнаете, когда какое из них честнее описывает данные.

Что такое среднее арифметическое

Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления их суммы на количество слагаемых:

$\text{среднее} = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}.$

Пример. Оценки ученика: 5, 4, 3, 5, 4, 5. Сумма $5 + 4 + 3 + 5 + 4 + 5 = 26$, оценок 6. Средний балл: $26 : 6 \approx 4{,}33$.

Смысл среднего: «выровнять»

Представьте столбики разной высоты. Если «срезать» лишнее у высоких и «досыпать» в низкие так, чтобы все стали одинаковыми, их общая высота и будет средним.

Поэтому среднее арифметическое всегда находится между наименьшим и наибольшим числом. Это удобная проверка: если среднее оценок вышло 6, где-то ошибка.

Как найти среднее

1. Сложите все числа.
2. Посчитайте, сколько их.
3. Разделите сумму на количество.
4. Проверьте: среднее — между наименьшим и наибольшим.

Разобранный пример 1

Температура воздуха в течение недели: 12°, 15°, 14°, 10°, 13°, 16°, 11°. Найдите среднюю температуру.

1. Сумма: $12 + 15 + 14 + 10 + 13 + 16 + 11 = 91$.
2. Чисел 7.
3. $91 : 7 = 13$.
4. Проверка: $10 \le 13 \le 16$ — правдоподобно.

Ответ: $13^\circ$.

Обратная задача: сумма через среднее

Если известно среднее и количество чисел, сумму найти легко:

$\text{сумма} = \text{среднее} \cdot n.$

Разобранный пример 2

Среднее арифметическое четырёх чисел равно 7,5. Три из них — 6, 9 и 8. Найдите четвёртое.

1. Сумма всех четырёх: $7{,}5 \cdot 4 = 30$.
2. Сумма трёх известных: $6 + 9 + 8 = 23$.
3. Четвёртое: $30 - 23 = 7$.
4. Проверка: $(6 + 9 + 8 + 7) : 4 = 30 : 4 = 7{,}5$. Верно.

Ответ: 7.

Средняя скорость

Средняя скорость — это весь пройденный путь, делённый на всё время движения:

$v_{\text{ср}} = \frac{s_{\text{весь}}}{t_{\text{всё}}}.$

Внимание! Средняя скорость — это не среднее арифметическое скоростей (если время на участках разное).

Разобранный пример 3

Автомобиль ехал 2 ч со скоростью 60 км/ч и 1 ч со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость.

1. Путь: $60 \cdot 2 + 90 \cdot 1 = 120 + 90 = 210$ км.
2. Время: $2 + 1 = 3$ ч.
3. Средняя скорость: $210 : 3 = 70$ км/ч.

Среднее арифметическое скоростей было бы $(60 + 90) : 2 = 75$ км/ч — неверно: дольше машина ехала медленнее, поэтому средняя скорость ближе к 60.

Ответ: 70 км/ч.

Где среднее может обмануть

Если среди чисел есть одно очень большое или очень маленькое, среднее «перетягивает» в его сторону. Пусть в компании четыре человека получают по 30 000 рублей, а директор — 330 000. Средняя зарплата: $(4 \cdot 30\,000 + 330\,000) : 5 = 90\,000$ рублей — хотя четверо из пяти получают в три раза меньше. Поэтому статистики используют и другие характеристики — о них в 7 классе.

Среднее в спорте и в школе

Среднее арифметическое встречается повсюду. Средний балл аттестата влияет на поступление в колледж, средняя скорость определяет время в пути, средняя температура месяца — климат. В спорте, например в фигурном катании и гимнастике, судьи часто отбрасывают самую высокую и самую низкую оценки и берут среднее остальных: так одна слишком строгая или слишком щедрая оценка меньше влияет на результат.

Удобный приём: среднее через отклонения

Если числа близки друг к другу, удобно выбрать «опорное» число и считать отклонения от него. Найдём среднее чисел 98, 103, 101, 97, 106. Возьмём опору 100: отклонения −2, +3, +1, −3, +6, их сумма +5. Среднее отклонение $5 : 5 = 1$, значит среднее равно $100 + 1 = 101$. Проверка обычным способом: $505 : 5 = 101$. Этим приёмом пользуются, например, при обработке результатов измерений.

Типичные ошибки

• Делить сумму не на количество чисел, а на какое-то другое число (например, на наибольшее).
• Терять одно из чисел при сложении или неверно считать количество.
• Находить среднюю скорость как среднее арифметическое скоростей при разном времени.
• Не проверять, что среднее лежит между наименьшим и наибольшим значениями.
• Округлять промежуточные результаты — лучше округлять только окончательный ответ.

Что дальше

• Описательная статистика. Среднее, медиана, размах — в 7 классе к среднему добавятся медиана, мода и размах — инструменты описательной статистики.