Описательная статистика. Среднее, медиана, размах

Зачем это нужно

Учитель хочет понять, как класс написал контрольную; врач — нормальна ли температура пациентов; журналист — сколько «обычно» зарабатывают люди в городе. Смотреть на сотни чисел неудобно. Описательная статистика заменяет длинный набор чисел несколькими характеристиками: где находится «центр» данных и насколько они разбросаны. Эти характеристики встречаются в ОГЭ и ЕГЭ, в новостях и в любых исследованиях.

Числовой набор

Числовой набор — это несколько чисел, полученных при измерении или подсчёте: оценки ученика за четверть, рост игроков команды, время пробежки. Набор удобно упорядочить — расположить числа по возрастанию. Количество чисел в наборе называют его объёмом и обозначают $n$.

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое набора — сумма всех чисел, делённая на их количество:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}.$

Среднее показывает, каким было бы каждое число, если бы сумму «разделили поровну».

Разобранный пример 1

Оценки ученика: 5, 4, 3, 5, 5, 4. Найдите среднее.

$\bar{x} = (5 + 4 + 3 + 5 + 5 + 4) : 6 = 26 : 6 \approx 4{,}33$.

Медиана

Медиана — число, которое стоит в середине упорядоченного набора: половина чисел не больше её, половина — не меньше.

• Если $n$ нечётно, медиана — число, стоящее ровно посередине (на месте $\frac{n+1}{2}$).
• Если $n$ чётно, медиана — среднее двух центральных чисел.

Разобранный пример 2

Найдите медиану наборов: а) 7, 2, 9, 4, 5; б) 3, 8, 1, 6.

1. а) Упорядочим: 2, 4, 5, 7, 9. Медиана — 5.
2. б) Упорядочим: 1, 3, 6, 8. Медиана — $(3 + 6) : 2 = 4{,}5$.

Наибольшее, наименьшее и размах

Размах — разность наибольшего и наименьшего значений:

$R = x_{\max} - x_{\min}.$

Размах показывает, насколько сильно разбросаны данные. Например, если в одном городе температура за неделю колебалась от 18 до 22 °C (размах 4), а в другом — от 5 до 25 °C (размах 20), погода во втором городе была гораздо менее устойчивой.

Среднее или медиана? Выбросы

Среднее и медиана описывают «центр» набора по-разному. Разница особенно видна, когда в наборе есть выброс — значение, сильно отличающееся от остальных.

Разобранный пример 3

Девять игроков забили за сезон голов: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 23. Найдите среднее, медиану и размах.

1. Сумма $= 54$, среднее $= 54 : 9 = 6$.
2. Набор упорядочен, $n = 9$, медиана — 5-е число: 4.
3. Размах: $23 - 2 = 21$.

Среднее (6) больше, чем голов у восьми из девяти игроков, — его «тянет» один лидер. Медиана (4) лучше описывает типичного игрока. Говорят, что медиана устойчива к выбросам, а среднее — нет.

Поэтому, например, о доходах людей обычно сообщают медианную зарплату: несколько очень богатых людей сильно завышают среднее.

Мода — значение, которое встречается в наборе чаще всего (в примере 3 — число 4). Мода полезна для нечисловых данных: самый популярный размер обуви, самый частый ответ в опросе.

Свойства среднего

• Если ко всем числам прибавить одно и то же число $c$, среднее увеличится на $c$.
• Если все числа умножить на $k$, среднее умножится на $k$.
• Сумма отклонений чисел от среднего равна нулю.

Разобранный пример 4

Среднее четырёх чисел равно 7. Каким должно быть пятое число, чтобы среднее стало равно 8?

1. Сумма четырёх: $4 \cdot 7 = 28$.
2. Сумма пяти должна быть $5 \cdot 8 = 40$.
3. Пятое число: $40 - 28 = 12$.

Как описать набор: план

1. Упорядочите набор по возрастанию и посчитайте его объём $n$.
2. Найдите наименьшее и наибольшее значения, затем размах.
3. Найдите медиану (середину упорядоченного набора).
4. Найдите среднее (сумма, делённая на $n$).
5. Сравните среднее и медиану. Если они сильно различаются, поищите выбросы и подумайте, какая характеристика честнее описывает данные.

Пример из жизни: в мае в двух городах средняя дневная температура одинакова — $+15$ °C. Но в одном городе размах за месяц 6 °C, а в другом — 25 °C. По одному среднему города кажутся одинаковыми, а размах показывает, что во втором городе погода гораздо изменчивее — там нужен и зонтик, и тёплая куртка.

Типичные ошибки

• Искать медиану, не упорядочив набор.
• При чётном $n$ брать одно из центральных чисел вместо их среднего.
• Путать медиану и среднее: они совпадают только в «симметричных» наборах.
• Считать размах как разность первого и последнего чисел неупорядоченного набора.
• Делить сумму не на количество чисел, а на что-то другое (например, на наибольшее число).

Что дальше

• Дисперсия и стандартное отклонение — дисперсия и стандартное отклонение: более точные меры разброса.