Проценты

Зачем это нужно

«Скидка 20 %», «заряд батареи 45 %», «влажность воздуха 70 %», «на выборах проголосовало 64 %». Проценты — один из самых частых способов говорить о частях целого: в магазине, в банке, в новостях, в науке.

Проценты удобны тем, что любое целое мысленно делят на 100 равных частей — и тогда разные величины становится легко сравнивать. Умение считать проценты нужно каждому взрослому человеку, а задачи на проценты обязательно встречаются на ОГЭ и ЕГЭ.

Что такое процент

Процент — это одна сотая часть числа. Обозначают знаком %:

$1\,\% = \frac{1}{100} = 0{,}01.$

Если целое — 100 %, то:

Перевод процентов в дробь и обратно

• Проценты → десятичная дробь: разделить на 100 (запятая на два знака влево): $37\,\% = 0{,}37$; $5\,\% = 0{,}05$; $120\,\% = 1{,}2$.
• Десятичная дробь → проценты: умножить на 100 (запятая на два знака вправо): $0{,}8 = 80\,\%$; $0{,}035 = 3{,}5\,\%$.

Три типа задач на проценты

1. Найти процент от числа

Найдите 30 % от 250.

Способ 1 — через 1 %: 1 % от 250 — это $250 : 100 = 2{,}5$; 30 % — $2{,}5 \cdot 30 = 75$.

Способ 2 — через десятичную дробь: $30\,\% = 0{,}3$, $250 \cdot 0{,}3 = 75$.

Правило: чтобы найти проценты от числа, переведите проценты в десятичную дробь и умножьте число на неё.

2. Найти число по его проценту

15 % числа равны 45. Найдите число.

1 % числа — это $45 : 15 = 3$; всё число (100 %) — $3 \cdot 100 = 300$.

Или: $45 : 0{,}15 = 300$.

Правило: чтобы найти число по его процентам, разделите известную часть на долю, выраженную десятичной дробью.

3. Сколько процентов одно число составляет от другого

В классе 25 учеников, 9 из них занимаются спортом. Какой это процент?

Найдём, какую часть класса составляют спортсмены: $\dfrac{9}{25} = 9 : 25 = 0{,}36$. Переведём в проценты: $0{,}36 = 36\,\%$.

Правило: разделите часть на целое и умножьте на 100 %.

Проценты в жизни: скидки и наценки

Разобранный пример 1

Куртка стоила 4 800 рублей. На неё сделали скидку 15 %. Сколько стоит куртка теперь?

1. Скидка: 15 % от 4 800 — это $4\,800 \cdot 0{,}15 = 720$ рублей.
2. Новая цена: $4\,800 - 720 = 4\,080$ рублей.
3. Другой способ: после скидки остаётся $100\,\% - 15\,\% = 85\,\%$ цены: $4\,800 \cdot 0{,}85 = 4\,080$. Совпало.

Ответ: 4 080 рублей.

Разобранный пример 2

В школе 640 учеников, 45 % из них — мальчики. Сколько девочек?

1. Девочек $100\,\% - 45\,\% = 55\,\%$.
2. $640 \cdot 0{,}55 = 352$.
3. Проверка: мальчиков $640 \cdot 0{,}45 = 288$, и $288 + 352 = 640$.

Ответ: 352 девочки.

Как не запутаться

Перед решением ответьте на вопрос: что принято за 100 %? Обычно это то, «от чего» считают процент: от старой цены, от всего класса, от всей дороги. Именно от этого числа и берут проценты.

Откуда слово «процент»

Слово пришло из латыни: pro centum — «на сотню». Знак % появился как сокращение записи «cto» (от итальянского cento — «сто»), которое со временем превратилось в привычный значок. Проценты широко использовали в торговле и банковском деле ещё в Средние века: так было удобно сравнивать прибыль с разных сделок, не обращая внимания на их размер.

Проценты больше ста

Процентов может быть и больше 100: это значит, что часть больше целого, принятого за 100 %. Например, «урожай составил 120 % от прошлогоднего» — собрали больше, чем в прошлом году, на пятую часть. А «цена выросла на 100 %» означает, что она увеличилась вдвое.

Типичные ошибки

• Переводить проценты в дробь неверно: $5\,\% = 0{,}5$. Правильно: $5\,\% = 0{,}05$.
• Путать первый и второй типы задач: умножать там, где нужно делить.
• Брать процент не от того числа: скидку в 15 % считать от новой цены, а не от старой.
• Думать, что после скидки 20 % и затем наценки 20 % цена вернётся к исходной. Нет: $100 \cdot 0{,}8 = 80$, $80 \cdot 1{,}2 = 96$.
• Считать, что 100 % — это всегда 100 штук. 100 % — это всё целое, сколько бы в нём ни было.

Что дальше

• Прямая и обратная пропорциональность. Масштаб — задачи на проценты удобно решать пропорцией; узнаем о прямой и обратной пропорциональности.