Прямая и обратная пропорциональность. Масштаб

Зачем это нужно

Если купить вдвое больше конфет, заплатишь вдвое больше. Если ехать вдвое быстрее, доедешь вдвое быстрее. Первая зависимость — прямая пропорциональность, вторая — обратная. Умение распознать вид зависимости — ключ к решению огромного числа задач: на цену и количество, скорость и время, производительность и работу.

А масштаб — частный случай прямой пропорциональности, без которого не прочитать ни карту, ни чертёж, ни план квартиры. В 8 классе на физике вы встретите закон Ома — это тоже пропорциональность: сила тока прямо пропорциональна напряжению.

Прямая пропорциональность

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Пример: цена 1 кг яблок 80 рублей.

Масса выросла в 5 раз — стоимость тоже в 5 раз. Отношение стоимости к массе постоянно: $\dfrac{160}{2} = \dfrac{400}{5} = 80$. Это и есть признак прямой пропорциональности: $\dfrac{y}{x} = k$, то есть $y = kx$.

Другие примеры: путь и время при постоянной скорости; количество деталей и время работы; периметр квадрата и его сторона.

Обратная пропорциональность

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении одной в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Пример: путь 120 км.

Скорость выросла втрое (с 20 до 60) — время уменьшилось втрое (с 6 до 2). Постоянно произведение: $20 \cdot 6 = 40 \cdot 3 = 60 \cdot 2 = 120$. Признак обратной пропорциональности: $x \cdot y = k$, то есть $y = \dfrac{k}{x}$.

Другие примеры: число рабочих и время выполнения работы; цена и количество товара на фиксированную сумму.

Не всякая зависимость пропорциональна

Возраст человека и его рост: рост с возрастом увеличивается, но не пропорционально. Стоимость такси, где есть плата за посадку: при вдвое большем пути цена не удваивается. Прежде чем решать пропорцией, проверьте, что зависимость действительно пропорциональная.

Решение задач пропорцией

Разобранный пример 1 (прямая)

За 3 ч станок изготовил 48 деталей. Сколько деталей он изготовит за 5 ч?

1. Время и число деталей прямо пропорциональны (станок работает с постоянной скоростью).
2. Краткая запись: 3 ч — 48 дет., 5 ч — $x$ дет. Стрелки направлены одинаково.
3. Пропорция: $\dfrac{3}{5} = \dfrac{48}{x}$, $3x = 240$, $x = 80$.
4. Проверка: за 1 ч — 16 деталей, за 5 ч — 80. Верно.

Ответ: 80 деталей.

Разобранный пример 2 (обратная)

6 рабочих выполняют работу за 12 дней. За сколько дней выполнят ту же работу 8 рабочих?

1. Рабочих больше — дней меньше: обратная пропорциональность.
2. Произведение постоянно: $6 \cdot 12 = 8 \cdot x$, $x = 72 : 8 = 9$.
3. Проверка: работа — 72 «рабочих-дня» в обоих случаях.

Ответ: за 9 дней.

Важно: в обратной пропорциональности отношения «переворачиваются»: $\dfrac{6}{8} = \dfrac{x}{12}$, а не $\dfrac{6}{8} = \dfrac{12}{x}$.

Масштаб

Масштаб — отношение длины отрезка на карте (плане, чертеже) к длине соответствующего отрезка на местности:

$\text{масштаб} = \frac{\text{длина на карте}}{\text{длина на местности}}.$

Масштаб $1 : 100\,000$ означает: 1 см на карте соответствует $100\,000$ см = 1 км на местности.

Разобранный пример 3

Расстояние между городами на карте масштаба $1 : 2\,000\,000$ равно 4,5 см. Каково расстояние на местности?

1. $4{,}5 \cdot 2\,000\,000 = 9\,000\,000$ см.
2. $9\,000\,000$ см $= 90\,000$ м $= 90$ км.

Ответ: 90 км.

Проценты через пропорцию

Задачи на проценты тоже удобно решать пропорцией, ведь часть и проценты прямо пропорциональны. Найдите 18 % от 250: $\dfrac{250}{100\,\%} = \dfrac{x}{18\,\%}$, $x = 45$.

Как распознать вид зависимости

Задайте себе вопрос: что будет, если одну величину увеличить в 2 раза?

• Если вторая тоже увеличится в 2 раза — зависимость прямая.
• Если вторая уменьшится в 2 раза — обратная.
• Если вторая изменится как-то иначе (на сколько-то, или не изменится) — зависимость не пропорциональная, и решать задачу пропорцией нельзя.

Например, время приготовления каши почти не зависит от того, варите вы её на одного или на двоих, — значит, это не пропорциональность. А количество крупы для каши прямо пропорционально числу порций.

Типичные ошибки

• Решать пропорцией задачу, где зависимость не пропорциональная.
• Путать прямую и обратную пропорциональность и составлять пропорцию «не в ту сторону».
• В задачах на масштаб забывать переводить сантиметры в километры: 1 км = 100 000 см.
• Считать масштаб $1 : 100$ «крупнее» масштаба $1 : 10$. На деле $1 : 10$ — крупнее: предмет на чертеже уменьшен только в 10 раз.

Что дальше

• Закон Ома для участка цепи — закон Ома: сила тока прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению.