Электроёмкость. Конденсаторы

Зачем это нужно

Вспышка фотоаппарата, дефибриллятор, запускающий сердце, блок питания компьютера, сенсорный экран, ячейка оперативной памяти — во всех них есть конденсаторы, устройства для накопления заряда и энергии электрического поля. В любой электронной плате их десятки и сотни. Конденсаторы сглаживают пульсации напряжения, отделяют переменный ток от постоянного, задают частоту в радиоприёмниках, быстро отдают большую энергию. В этой теме мы узнаем, от чего зависит способность тел накапливать заряд и сколько энергии в них запасено.

Электроёмкость

Если сообщать проводнику заряд, его потенциал растёт пропорционально. Отношение заряда к потенциалу (или для двух проводников — к напряжению между ними) не зависит от заряда и называется электроёмкостью:

$C = \frac{q}{U}.$

Единица — фарад (Ф = Кл/В). Это очень большая величина, поэтому на практике пользуются микрофарадами (мкФ, $10^{-6}$ Ф), нанофарадами (нФ, $10^{-9}$ ) и пикофарадами (пФ, $10^{-12}$ ).

Ёмкость уединённого шара радиусом $R$ : $C = 4\pi\varepsilon_0 \varepsilon R$ . Даже у всей Земли ( $R = 6400$ км) она всего около 710 мкФ — меньше, чем у конденсатора в блоке питания!

Конденсатор

Конденсатор — два проводника (обкладки), разделённые слоем диэлектрика, толщина которого мала по сравнению с размерами обкладок. Обкладкам сообщают равные по модулю и противоположные по знаку заряды; поле сосредоточено между ними и почти не зависит от внешних тел. Зарядом конденсатора называют заряд одной обкладки.

Ёмкость плоского конденсатора:

$C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d},$

где $S$ — площадь обкладки, $d$ — расстояние между ними, $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость диэлектрика. Ёмкость растёт при увеличении площади, уменьшении зазора и при введении диэлектрика. Поэтому реальные конденсаторы делают из длинных лент фольги, свёрнутых в рулон с тонкой плёнкой между ними.

Плоский конденсатор с площадью обкладок S и расстоянием d; схемы параллельного и последовательного соединений

Разобранный пример 1

Конденсатор при напряжении 100 В получил заряд $2 \cdot 10^{-5}$ Кл. Найдите ёмкость.

$C = \frac{2 \cdot 10^{-5}}{100} = 2 \cdot 10^{-7}$ Ф $= 0{,}2$ мкФ.

Разобранный пример 2

Найдите ёмкость воздушного конденсатора с обкладками по 100 см² на расстоянии 1 мм. Как она изменится, если заполнить зазор слюдой ( $\varepsilon = 6$ )?

$C = \frac{8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 0{,}01}{0{,}001} \approx 8{,}85 \cdot 10^{-11}$ Ф $\approx 89$ пФ.
Со слюдой в 6 раз больше: около 530 пФ.

Соединения конденсаторов

Параллельное: напряжение на всех одинаково, заряды складываются:

$C = C_1 + C_2 + \ldots$

Последовательное: заряды на всех одинаковы, напряжения складываются:

$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \ldots$

Общая ёмкость при последовательном соединении меньше наименьшей из ёмкостей. Зато такая батарея выдерживает большее напряжение. Обратите внимание: формулы «зеркальны» формулам для резисторов.

Разобранный пример 3

Конденсаторы 2 мкФ и 3 мкФ соединили параллельно, а затем последовательно. Найдите общую ёмкость в обоих случаях.

Параллельно: $2 + 3 = 5$ мкФ.
Последовательно: $\frac{2 \cdot 3}{2 + 3} = 1{,}2$ мкФ.

Энергия заряженного конденсатора

Чтобы зарядить конденсатор, нужно совершить работу против сил поля. При зарядке напряжение растёт от 0 до $U$ , поэтому среднее напряжение равно $U/2$ , и энергия:

$W = \frac{qU}{2} = \frac{CU^2}{2} = \frac{q^2}{2C}.$

Эта энергия запасена в электрическом поле между обкладками. Плотность энергии поля $w = \frac{\varepsilon\varepsilon_0 E^2}{2}$ — поле само является носителем энергии.

Разобранный пример 4

Конденсатор вспышки ёмкостью 100 мкФ заряжен до 300 В. Какую энергию он отдаёт при разряде?

$W = \frac{10^{-4} \cdot 9 \cdot 10^4}{2} = 4{,}5$ Дж. Разряд длится около миллисекунды, поэтому мощность вспышки — несколько киловатт.

Разобранный пример 5

Плоский воздушный конденсатор зарядили и отключили от источника, а затем раздвинули пластины вдвое. Как изменились ёмкость, напряжение и энергия?

Заряд сохраняется (конденсатор отключён).
Ёмкость уменьшилась вдвое, напряжение $U = q/C$ выросло вдвое.
Энергия $\frac{q^2}{2C}$ выросла вдвое — за счёт работы, которую мы совершили, раздвигая притягивающиеся пластины.

Применение конденсаторов

Фотовспышка и дефибриллятор: медленно накопить энергию и быстро её отдать.
Блоки питания: сглаживание пульсаций выпрямленного напряжения.
Колебательный контур: вместе с катушкой задаёт частоту радиоприёмника.
Сенсорный экран: палец меняет ёмкость между прозрачными электродами.
Память DRAM: каждый бит — заряд крошечного конденсатора.
Ионисторы (суперконденсаторы) ёмкостью тысячи фарад питают электробусы на остановках.

Немного истории

Первый конденсатор — лейденскую банку — изобрели в 1745–1746 годах Эвальд Юрген фон Клейст и Питер ван Мушенбрук: стеклянная банка, обклеенная фольгой снаружи и изнутри. Разряд такой банки сбивал человека с ног. Бенджамин Франклин с её помощью доказал электрическую природу молнии.

Типичные ошибки

Путать формулы соединений конденсаторов и резисторов.
Забывать переводить мкФ, пФ и см² в СИ.
Считать, что ёмкость зависит от заряда или напряжения.
В задачах с изменением конденсатора не различать случаи «отключён от источника» ( $q$ = const) и «подключён» ( $U$ = const).

Что дальше

Электромагнитные колебания. Переменный ток — колебательный контур.
Электростатика. Теорема Гаусса — теорема Гаусса.