Потенциал. Проводники и диэлектрики в поле

Зачем это нужно

На батарейке написано «1,5 В», в розетке 220 В, на опоре ЛЭП — «500 кВ, опасно для жизни». Вольт — единица разности потенциалов, энергетической характеристики электрического поля. Через неё удобно считать работу поля, скорость электронов в кинескопе и рентгеновской трубке, энергию частиц в ускорителях. Кроме того, мы разберёмся, почему в машине безопасно во время грозы, как работает экранирование кабелей и зачем в конденсаторы помещают диэлектрик.

Работа электростатического поля

Пусть заряд $q$ перемещается в однородном поле $E$ на расстояние $d$ вдоль силовой линии. Поле совершает работу:

$A = qEd.$

Если путь не вдоль линии, учитывается только проекция перемещения на направление поля. Главное свойство: работа электростатического поля не зависит от формы траектории, а только от начальной и конечной точек; по замкнутому пути она равна нулю. Такое поле, как и поле тяготения, называют потенциальным. Значит, заряд в поле обладает потенциальной энергией $W$, и $A = -(W_2 - W_1)$.

Разобранный пример 1

Заряд 2 мкКл переместили на 5 см вдоль линий однородного поля напряжённостью $10^4$ В/м. Какую работу совершило поле?

$A = 2 \cdot 10^{-6} \cdot 10^4 \cdot 0{,}05 = 10^{-3}$ Дж.

Потенциал и разность потенциалов

Потенциальная энергия пропорциональна заряду. Отношение не зависит от заряда и характеризует само поле в данной точке — это потенциал:

$\varphi = \frac{W}{q}.$

Единица — вольт (В = Дж/Кл). Потенциал точечного заряда $q$ на расстоянии $r$ (если на бесконечности потенциал принят за ноль):

$\varphi = k\frac{q}{r}.$

Физический смысл имеет разность потенциалов — напряжение:

$U = \varphi_1 - \varphi_2 = \frac{A_{12}}{q}.$

Напряжение 1 В означает, что при переносе заряда 1 Кл поле совершает работу 1 Дж. Потенциал — величина скалярная: потенциалы нескольких зарядов просто складываются с учётом знаков.

Разобранный пример 2

Найдите потенциал поля заряда 1 нКл на расстоянии 9 см.

$\varphi = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{10^{-9}}{0{,}09} = 100$ В.

Разобранный пример 3

Электрон, начав движение из покоя, прошёл разность потенциалов 100 В. Какую скорость он приобрёл?

1. Работа поля: $eU = \frac{mv^2}{2}$.
2. $v = \sqrt{\frac{2eU}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 100}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}} \approx 5{,}9 \cdot 10^6$ м/с.

Энергию $eU$ при $U = 1$ В называют электронвольтом: $1$ эВ $= 1{,}6 \cdot 10^{-19}$ Дж. Ею меряют энергии в атомной и ядерной физике.

Связь напряжённости и напряжения

В однородном поле $A = qEd = qU$, поэтому

$U = Ed, \qquad E = \frac{U}{d}.$

Отсюда вторая единица напряжённости — В/м. Вектор $\vec E$ направлен в сторону убывания потенциала.

Разобранный пример 4

Между пластинами, находящимися на расстоянии 2 см, напряжение 200 В. Найдите напряжённость поля.

$E = \frac{200}{0{,}02} = 10^4$ В/м.

Эквипотенциальные поверхности

Поверхности, во всех точках которых потенциал одинаков, называют эквипотенциальными. Работа при перемещении заряда по ним равна нулю, поэтому они всегда перпендикулярны силовым линиям. У точечного заряда это концентрические сферы, в однородном поле — параллельные плоскости.

Проводники в поле

В металлах есть свободные электроны. Во внешнем поле они смещаются, пока их собственное поле не скомпенсирует внешнее внутри проводника. В итоге в равновесии:

• внутри проводника $E = 0$, а весь проводник имеет одинаковый потенциал;
• заряд располагается на поверхности, а линии поля у поверхности перпендикулярны ей;
• сильнее всего поле у острых выступов — на этом основан громоотвод.

Внутри замкнутой металлической оболочки поле отсутствует, даже если снаружи сильное поле. Это электростатическая защита: металлическая сетка (клетка Фарадея) экранирует приборы, оплётка — кабели, а кузов машины защищает пассажиров при попадании молнии.

Диэлектрики в поле

В диэлектриках свободных зарядов почти нет. Но во внешнем поле молекулы поляризуются: полярные молекулы (вода) поворачиваются вдоль поля, а у неполярных смещаются электронные облака. На поверхности диэлектрика появляются связанные заряды, их поле ослабляет внешнее в $\varepsilon$ раз. Поэтому в воде ($\varepsilon = 81$) соль легко распадается на ионы: притяжение ионов ослаблено в 81 раз. По той же причине заряженная расчёска притягивает бумажки и струйку воды.

Типичные ошибки

• Путать потенциал (энергия на единицу заряда, скаляр) с напряжённостью (сила на единицу заряда, вектор).
• Складывать потенциалы векторно или, наоборот, напряжённости как числа.
• Забывать знак заряда: для электрона работа поля $A = qU$ с $q = -e$.
• Подставлять в $U = Ed$ расстояние не вдоль поля.
• Считать, что внутри заряженного проводника есть поле.

Что дальше

• Электроёмкость. Конденсаторы — электроёмкость и конденсаторы.
• Законы постоянного тока — законы постоянного тока.
• Световые кванты. Фотоэффект — задерживающее напряжение при фотоэффекте.