Перейти к содержимому
RanimusВетвь разума
ВойтиРегистрация

Электромагнитные колебания. Переменный ток

Колебательный контур, формула Томсона, аналогия с механическими колебаниями, генератор переменного тока, действующие значения.

ДоступнаСложность: ★★★★☆Время: 80 минЗа прохождение: 150 (с первой попытки 180)
Пройти тест Пропустить тему

Пожаловаться

ТеорияТестДомашняя работа3Самоконтроль3

Зачем это нужно

В розетке ток меняет направление 100 раз в секунду. Радиоприёмник выделяет нужную станцию из тысяч сигналов. Кварцевые часы, Wi-Fi, сотовая связь, металлоискатель работают на электромагнитных колебаниях — периодических изменениях заряда, тока и напряжения. Поразительно, что их законы почти дословно повторяют законы механических колебаний: катушка играет роль массы, конденсатор — пружины. Поняв эту аналогию, вы получите сразу два раздела физики по цене одного.

Колебательный контур

Простейшая колебательная система — колебательный контур: конденсатор ёмкостью CC, замкнутый на катушку индуктивностью LL.

  1. Заряженный конденсатор начинает разряжаться через катушку. Ток нарастает постепенно — мешает самоиндукция.
  2. Когда конденсатор разрядился, ток максимален, вся энергия перешла в магнитное поле катушки.
  3. Ток не прекращается мгновенно: ЭДС самоиндукции поддерживает его и перезаряжает конденсатор с обратной полярностью.
  4. Затем процесс идёт в обратную сторону — и так далее, пока энергия не рассеется в проводах.

Энергия переходит из электрического поля в магнитное и обратно:

q22C+Li22=qm22C=LIm22=const.\frac{q^2}{2C} + \frac{Li^2}{2} = \frac{q_m^2}{2C} = \frac{LI_m^2}{2} = \text{const}.

Гармонические электромагнитные колебания

Без сопротивления заряд меняется по гармоническому закону:

q=qmcos⁡ωt,i=q′=−qmωsin⁡ωt.q = q_m\cos\omega t, \qquad i = q' = -q_m\omega\sin\omega t.

Ток отстаёт от заряда на четверть периода (как скорость от координаты). Период определяет формула Томсона:

T=2πLC,ω=1LC.T = 2\pi\sqrt{LC}, \qquad \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}.

Колебательный контур из конденсатора и катушки и графики заряда и силы тока

Разобранный пример 1

Контур из катушки 0,1 Гн и конденсатора 10 мкФ. Найдите период и частоту колебаний.

T=2π0,1⋅10−5=2π⋅10−3≈6,3T = 2\pi\sqrt{0{,}1 \cdot 10^{-5}} = 2\pi \cdot 10^{-3} \approx 6{,}3 мс; ν≈159\nu \approx 159 Гц.

Разобранный пример 2

В том же контуре максимальный заряд конденсатора 10−410^{-4} Кл. Найдите энергию контура и максимальный ток.

W=(10−4)22⋅10−5=5⋅10−4W = \frac{(10^{-4})^2}{2 \cdot 10^{-5}} = 5 \cdot 10^{-4} Дж; Im=2WL=0,1I_m = \sqrt{\frac{2W}{L}} = 0{,}1 А. Проверка: Im=qmω=10−4⋅1000=0,1I_m = q_m\omega = 10^{-4} \cdot 1000 = 0{,}1 А.

Разобранный пример 3

Катушка контура радиоприёмника имеет индуктивность 0,25 мГн. Какой должна быть ёмкость, чтобы принимать станцию на частоте 1 МГц?

Из ν=12πLC\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}: C=14π2ν2L=139,5⋅1012⋅2,5⋅10−4≈10−10C = \frac{1}{4\pi^2\nu^2 L} = \frac{1}{39{,}5 \cdot 10^{12} \cdot 2{,}5 \cdot 10^{-4}} \approx 10^{-10} Ф =100= 100 пФ. Вращая ручку настройки, мы меняем ёмкость конденсатора и подстраиваем частоту контура под частоту станции — это резонанс.

Аналогия с механическими колебаниями

Механика Электродинамика
координата xx заряд qq
скорость vv сила тока ii
масса mm индуктивность LL
жёсткость kk величина 1C\frac{1}{C}
mv22\frac{mv^2}{2} Li22\frac{Li^2}{2}
kx22\frac{kx^2}{2} q22C\frac{q^2}{2C}
T=2πmkT = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} T=2πLCT = 2\pi\sqrt{LC}

Аналогия не просто красивая: она позволяет переносить готовые решения. Знаете, как ведёт себя груз на пружине, — знаете и поведение контура. Инженеры даже моделировали сложные механические системы электрическими цепями, потому что цепь проще собрать и измерить.

Реальный контур имеет сопротивление, поэтому колебания затухают. Чтобы получить незатухающие колебания, энергию подпитывают — так работает генератор на транзисторе.

Переменный ток

Переменный ток — вынужденные электромагнитные колебания. Его получают в генераторе: рамка из NN витков площадью SS вращается с угловой скоростью ω\omega в магнитном поле BB. Поток Φ=BScos⁡ωt\Phi = BS\cos\omega t меняется, и возникает ЭДС

e=NBSωsin⁡ωt,Em=NBSω.e = NBS\omega\sin\omega t, \qquad \mathcal{E}_m = NBS\omega.

В промышленных генераторах вращается электромагнит (ротор), а обмотки неподвижны. Стандартная частота в России и Европе — 50 Гц, в США и части Японии — 60 Гц. Частоту в сети строго поддерживают все электростанции энергосистемы одновременно: генераторы вращаются синхронно.

Разобранный пример 4

Рамка из 100 витков площадью 0,02 м² вращается в поле 0,5 Тл с частотой 50 Гц. Найдите амплитуду ЭДС.

ω=2π⋅50=100π\omega = 2\pi \cdot 50 = 100\pi; Em=100⋅0,5⋅0,02⋅100π≈314\mathcal{E}_m = 100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}02 \cdot 100\pi \approx 314 В.

Действующие значения

Тепловое действие переменного тока определяется не амплитудой, а действующим (эффективным) значением — силой постоянного тока, выделяющего столько же теплоты:

I=Im2,U=Um2.I = \frac{I_m}{\sqrt{2}}, \qquad U = \frac{U_m}{\sqrt{2}}.

Откуда 2\sqrt{2}? Мощность на резисторе p=i2R=Im2Rsin⁡2ωtp = i^2 R = I_m^2 R\sin^2\omega t. Среднее значение sin⁡2\sin^2 за период равно 12\frac{1}{2}, поэтому средняя мощность Im2R2\frac{I_m^2 R}{2}. Такую же даёт постоянный ток Im2\frac{I_m}{\sqrt{2}}.

Приборы показывают именно действующие значения. «220 В в розетке» — это действующее напряжение; амплитуда 2202≈311220\sqrt{2} \approx 311 В.

Немного истории

Формулу периода вывел Уильям Томсон (лорд Кельвин) в 1853 году. Существование электрических колебаний при разряде лейденской банки доказал Беддерсен, сфотографировав искру во вращающемся зеркале. Борьбу за переменный ток в электроснабжении выиграли Никола Тесла и Джордж Вестингауз у Томаса Эдисона — «война токов» конца XIX века.

Типичные ошибки

  • Путать частоту ν\nu и циклическую частоту ω=1LC\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}.
  • Забывать переводить мкФ и мГн в фарады и генри.
  • Считать «220 В» амплитудой напряжения.
  • Думать, что в момент, когда конденсатор разряжен, ток в контуре равен нулю. Наоборот, он максимален.

Что дальше